Предложенные на второй рубежной аттестации в 2006/2007 учебном году

Вариант №1

Задание 1. Теорема Больцано – Вейерштрасса о существовании сходящейся подпоследовательности у ограниченной числовой последовательности (с доказательством).

Задание 2. Лемма «о двух милиционерах».

Задание 3. Определение ограниченной сверху последовательности. Приведите примеры.

Задание 4. Определение сходящейся последовательности. Приведите примеры.

Задание 5. Пусть последовательность { } сходится и ее предел . Можно ли из { } выделить подпоследовательность, все члены которой отрицательны? Ответ обоснуйте.

Задание 6. Пусть . Постройте такую последовательность { }, из которой можно выделить две подпоследовательности и , одна из которых сходится к , а вторая к .

Задание 7. Будет ли последовательность { }, где ограниченной? Ответ обоснуйте.

Задание 8. Докажите, что =2.

Вариант №2

Задание 1. Теорема о существовании предела у монотонно возрастающей, ограниченной сверху последовательности (с доказательством).

Задание 2. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.

Задание 3. Определение ограниченной последовательности. Приведите примеры.

Задание 4. Определение неубывающей последовательности. Приведите примеры.

Задание 5. Пусть в некоторой окрестности точки a лежит бесконечно много членов последовательности { }. Следует ли отсюда, что никакая точка вне этой окрестности не является пределом последовательности { }?. Ответ обоснуйте.

Задание 6. Покажите, что из любой неограниченной последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность.

Задание 7. Будет ли последовательность { }, где ограниченной? Ответ обоснуйте.

Задание 8. Докажите, что =0.

Вариант №3

Задание 1. Теорема о существовании предела у монотонно убывающей, ограниченной снизу последовательности (с доказательством).

Задание 2. Свойства пределов числовых последовательностей.

Задание 3. Определение верхнего предела числовой последовательности. Приведите примеры.

Задание 4. Определение монотонно возрастающей последовательности. Приведите примеры.

Задание 5. Пусть последовательность {| |} сходится. Будет ли из этого вытекать, что последовательность { } будет сходящейся? Ответ обоснуйте.

Задание 6. Пусть последовательность { } сходится, а последовательность { } расходится. Докажите, что сумма этих последовательностей - { }расходится.

Задание 7. Будет ли последовательность { }, где ограниченной? Ответ обоснуйте.

Задание 8. Докажите, что =0.

Вариант №4

Задание 1. Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании сходящейся подпоследовательности у ограниченной числовой последовательности (с доказательством).

Задание 2. Теорема о единственности предела числовой последовательности.

Задание 3. Определение ограниченной снизу последовательности. Приведите примеры.

Задание 4. Определение бесконечно большой последовательности. Приведите примеры.

Задание 5. Пусть в некоторой окрестности точки a лежит бесконечно много членов последовательности { }. Следует ли отсюда, что является пределом последовательности { }? Ответ обоснуйте.

Задание 6. Покажите, что если монотонная последовательность является неограниченной, то из нее нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность.

Задание 7. Будет ли последовательность { }, где ограниченной? Ответ обоснуйте.

Задание 8. Докажите, что =0.

Вариант №5

Задание 1. Теорема о существовании предела у монотонно возрастающей, ограниченной сверху последовательности (с доказательством).

Задание 2. Теорема о предельном переходе в неравенстве.

Задание 3. Определение бесконечно малой последовательности. Приведите примеры.

Задание 4. Определение монотонно убывающей последовательности. Приведите примеры.

Задание 5. Пусть в любой окрестности точки а лежит бесконечно много членов последовательности { }. Следует ли отсюда, что последовательность { } является ограниченной? Ответ обоснуйте.

Задание 6. Пусть последовательность { } сходится. Докажите, что последовательность {c } сходится при любом c. Ответ обоснуйте.

Задание 7. Будет ли последовательность { }, где ограниченной? Ответ обоснуйте.

Задание 8. Докажите, что =5.

Вариант №6

Задание 1. Теорема о существовании предела у монотонно убывающей, ограниченной снизу числовой последовательности (с доказательством).

Задание 2. Свойства пределов числовых последовательностей.

Задание 3. Определение нижнего предела. Приведите примеры.

Задание 4. Определение невозрастающей последовательности. Приведите примеры.

Задание 5. Пусть последовательность {| |} сходится. Будет ли из этого вытекать, что последовательность { } будет ограниченной? Ответ обоснуйте.

Задание 6. Является ли любая неограниченная последовательность бесконечно большой? Ответ обоснуйте.

Задание 7. Будет ли последовательность { }, где ограниченной? Ответ обоснуйте.

Задание 8. Докажите, что =3.