Системы массового обслуживания с простейшим входящим потоком и показательным временем обслуживания

Здесь рассматриваются СМО, у которых входящий поток пуассоновский, а время обслуживания – показательное.

Многоканальная система массового обслуживания с отказами

(задача Эрланга)

Пусть СМО содержит k каналов, входящий поток заявок имеет интенсивность λ, поток обслуживания заявки одним каналом имеет интенсивность μ. Будем нумеровать состояния СМО по числу занятых каналов: А0 – все каналы свободны; А1 – один канал занят; ……..; Аi – i каналов занято, (k – i) каналов свободны; ……..; Аk – все каналы заняты.

Размеченный граф состояний имеет вид, представленный на рисунке 6. Сравнивая рисунки 6 и 3, приходим к выводу, что граф на рисунке 6 является графом процесс гибели и размножения, для которого:

(18)

Рис. 6

Тогда предельное распределение вероятностей состояний можно вычислить по формулам (11). Обозначая через с учетом соотношений (18) и (11) получим:

(19)

Формулы (19) называются формулами Эрланга. С их помощью вычисляются показатели эффективности СМО:

(20)

где , эта величина называется коэффициентом загрузки системы.