Решение. Примеры решения некоторых типов задач

Примеры решения некоторых типов задач

Теория вероятностей

Задача 1.

Три стрелка стреляют в цель независимо друг от друга. Первый стрелок попадает в цель с вероятностью 0, 6, второй – с вероятностью 0, 7, а третий – с вероятностью 0, 75. Найти вероятность 1) хотя бы одного попадания в цель, если каждый стрелок сделает по одному выстрелу; 2) Первый и второй попадут в цель, а третий промахнется; 3) Трое стреляют, один промахнется; 4) Стреляют двое: первый и второй. Хотя бы один попадет.

Решение.

Событие А_i – «i – й стрелок попал в цель», противоположное событие – «i – й стрелок не попал в цель», i = 1, 2, 3. Вероятности этих событий

Р (А ₁) = 0, 6, Р () = 1 - Р (А ₁) = 1 - 0, 6 = 0, 4;

Р (А ₂) = 0, 7, Р () = 1 - Р (А ₂) = 1 - 0, 7 = 0, 3;

Р (А ₃) = 0, 75, Р () = 1 - Р (А ₃) = 1 - 0, 75 = 0, 25.

1) Событие А - «хотя бы один стрелок попал в цель», противоположное событие – «ни один стрелок не попал в цель».

Событие можно записать так . Результаты выстрела любого из стрелков не зависят от результатов выстрелов других стрелков. Поэтому вероятность события равна Р () = Р () = 0, 4 ∙ 0, 3 ∙ 0, 25 = 0, 03.

Искомая вероятность события А равна Р (А) = 1 - Р () = 1 - 0, 03 = 0, 97.

2) Событие А - «Первый и второй попадут в цель, а третий промахнется», можно записать так . Результаты выстрела любого из стрелков не зависят от результатов выстрелов других стрелков. Поэтому вероятность события равна Р () = Р () = 0, 6 ∙ 0, 7 ∙ 0, 25 = 0, 105.

3) Событие В – «Трое стреляют, один промахнется», представляет собой совокупность (сумму) трех вариантов событий В = В₁ + В₂ + В₃, где , , . Эти события не зависят друг от друга. Поэтому вероятность события В равна Р (В₁+В₂+В₃) = Р (В₁) + Р (В₂) + Р (В₃) = 0, 6 ∙ 0, 7 ∙ 0, 25 + 0, 6 ∙ 0, 3 ∙ 0, 75 + 0, 4 ∙ 0, 7 ∙ 0, 75 = 0, 105 + 0, 135 + 0, 21 = 0, 45.

4) Стреляют двое: первый и второй. Событие А – «Хотя бы один попадет» является суммой совместных событий А = А₁ + А₂. Тогда искомая вероятность Р(А₁+А₂) = Р (А₁) + Р (А₂) – Р (А₁ ∙ А₂) = 0, 6 + 0, 7 – 0, 6 ∙ 0, 7 = 0, 88.

Ответ: 1) Вероятность хотя бы одного попадания в цель равна 0, 97. 2) Вероятность того, что первый и второй попадут в цель, а третий промахнется, равна 0, 105. 3) Вероятность того, что трое стреляют, один промахнется, равна 0, 453. 4) Вероятность того, что стреляют двое: первый и второй, и хотя бы один попадет, равна 0, 88.