Канторовское понятие множества

Рассмотрим, как Кантор понимает термин «множество», и разберемся вкратце, из чего складывается это понимание. Согласно канторовскому определению, множество S есть любое собрание определенных и разли­чимых между собой объектов нашей интуиции или интеллекта, мыслимое как единое целое. Эти объекты называются элементами, или членами, множества 5.

Существенным пунктом канторовского понимания является то, что собрание предметов само рассматривается как один предмет (мыслится как единое целое). Нет нужды еще раз подчеркивать, что внимание, здесь переносится с отдельных предметов на их собрания, в свою очередь по­нимаемые как предметы — это обстоятельство очевидным образом отра­жено в таких словах нашего языка, как «компания», «стая», «стадо».

Что касается предметов, которые могут входить в множество, то фор­мулировка «объекты нашей интуиции или интеллекта» предоставляет нам в этом отношении значительную свободу. Прежде всего эта формули­ровка не накладывает никаких ограничений на природу предметов, вхо­дящих в множество. Множество может состоять, например, из зеленых яблок, песчинок или простых чисел. Однако для приложений матема­тики в качестве элементов множеств имеет смысл выбирать такие мате­матические объекты, как точки, кривые, числа, множества чисел и т. п. Отметим также, что канторовская формулировка допускает рассматривать множества, элементы которых по той или иной причине нельзя точно указать. В этой связи стоит вспомнить, что элементы любого бесконеч­ного множества даже теоретически нельзя собрать в законченную сово­купность1. Примерами могут служить, скажем, множество всех простых чисел или множество точек евклидовой плоскости, координаты которых (в некоторой фиксированной системе координат) рациональны. Имеются и конечные множества, обладающие в этом отношении той же степенью неопределенности, что и любое бесконечное множество2.

В основе известного примера, подтверждающего это последнее об­стоятельство, лежит допущение, что линотипная машина, имеющая 10 000 различных литер (среди которых имеются строчные и прописные буквы всех существующих на Земле алфавитов различных размеров и фасонов, цифры, знаки препинания, всевозможные специальные знаки и пустая литера для пропуска между словами), пригодна для печатания на лю­бом языке. (Точный объем этого множества литер не играет никакой роли; читатель может заменить в этом рассуждении 10000 любым целым числом, превышающим 1.) Условимся теперь под «книгой» понимать лю­бую последовательность, состоящую из 1000000 знаков, напечатанных с помощью имеющихся литер (включая пустую литеру и соответствующий ей «пустой знак» — пропуск). Таким образом, книга может содержать от 0 до 1000000 непустых знаков. Рассмотрим теперь множество всех книг. Поскольку для каждого из 1000000 мест, которые в книге могут быть заняты знаками, имеется 10000 различных возможностей, общее число книг оказывается равным 10000^1000000. Число это очень велико (но ко­нечно!). Кроме всяческой тарабарщины, в это множество будут входить все учебники, когда-либо написанные или задуманные, все когда-либо напечатанные газеты, все противоправительственные памфлеты, все же­лезнодорожные расписания, все таблицы логарифмов и т. д. и т. п. Совокупность эта столь же необъятна, как и бесконечное множество.

Остается еще пояснить участвующие в канторовской концепции мно­жества слова «различимые» и «определенные». В первом случае, как обычно, Имеется в виду, что для любых двух предметов, рассматри­ваемых как элементы некоторого множества, должна иметься возможность решить, различны они или одинаковы. Эпитет «определенный» понимается в том смысле, что если дано какое-либо множество и неко­торый предмет, то можно определить, является этот предмет элементом данного множества или нет. Отсюда вытекает, что множество полностью определяется своими элементами.