Множества и отношения

Теория множеств как математическая дисциплина создана немецким математиком Г. Кантором (1845—1918). Исчерпывающее освещение проб­лем, связанных с ее возникновением и развитием, выходит за рамки на­ших задач, поскольку это потребовало бы довольно серьезных предва­рительных математических сведений. Вместо этого мы вынуждены, в порядке неудобного компромисса, дать поверхностный очерк этих во­просов. Не беда, если этот очерк не сможет в полной мере удовлетворить читателя; даже частичное понимание этих вопросов может оказаться полезным.

Проводившиеся Кантором исследования, относящиеся к тригономет­рическим рядам и числовым последовательностям, привели его к задаче выяснения тех средств, которые необходимы для сравнения бесконечных множеств чисел по величине. Для решения этой проблемы Кантор ввел понятие мощности (или объема) множества, считая по определению, что два множества имеют одинаковую мощность, если члены любого из них можно сопоставить членам другого, образовав пары соответствующих членов. Поскольку между членами двух конечных множеств можно уста­новить такое попарное соответствие в том и только в том случае, когда они имеют одинаковое число членов, мощность конечного множества можно отождествить с количественным числом. Таким образом, понятие мощности бесконечного множества; представляет собой обобщение обыч­ного понятия количественного числа. В построении теории таких обоб­щенных (или трансфинитных) чисел, включающей в себя их арифметику, и состояло создание Кантором теории множеств. Полученные им в этом направлении результаты представляют собой исключительный образец математического творчества.

Настойчивое требование Кантора рассматривать бесконечность как нечто актуально данное (он рассматривал бесконечные множества и транс­финитные числа наравне с конечными множествами и натуральными числами) было для того времени большой новостью. Предубеждение по отношение к такой точке зрения обусловило непризнание работ Кантора со стороны некоторых математиков, реакция других была более благо­приятна, тем более что новая теория давала доказательство существова­ния трансцендентных чисел. Были получены также приложения теории множеств к анализу и геометрии, так что к 1890 году канторовская теория множеств получила признание в качестве самостоятельного раз­дела математики. В самом конце прошлого столетия обнаружилось, что позиция эта связана с определенными опасностями—оказалось, что в теории множеств могут возникнуть противоречия. Но это обстоятель­ство не воспринималось как очень серьезный дефект теории1 — на это указывает и то, что эти противоречия стали именоваться парадоксами, т. е. такого рода дефектами теории, для устранения которых достаточно лишь как следует разобраться в сути дела.

Идеи канторовской теории не только оказались полезными для су­ществовавшей математики; они постепенно привели к созданию самостоятельной дисциплины — общей теории абстрактных множеств. Этой общей теории множеств и посвящена в основном данная глава.

В частности, в этой главе обсуждаются в рамках теории множеств три важных математических понятия: функция, отношение эквивалент­ности и отношение порядка.

Параграфы 1.3—1.6 содержат необходимые предварительные сведения; в §§ 1.1 —1.2 описывается наша исходная точка зрения на теорию Кантора.

Можно было бы усомниться в разумности такой точки зрения - из­вестно, к каким неприятным последствиям она в конце концов приво­дит1. Мы полагаем, однако, что важнейшие выводы, которые делаются в этой главе, не зависят от тех особенностей, которые характерны для канторовского (или «наивного») подхода к теории множеств. В самом деле, любая теория множеств, предназначенная для того, чтобы служить ос­новой математики, должна включать основные определения и теоремы, содержащиеся в этой главе. Наивными являются лишь методы, с помощью которых мы получим некоторые из этих результатов. В пользовании та­кого рода методами нет ничего особенно страшного — это обычное орудие математики2.

В этой главе мы будем предполагать, что читателю хорошо известны системы целых, рациональных, действительных и комплексных чисел. Знание этих систем расширяет возможности построения примеров, спо­собствующих усвоению определений, теорем и т. д. Для обозначения множеств целых, рациональных, действительных и комплексных чисел мы будем использовать, соответственно, буквы Z, Q, R и С; для обозна­чения множеств положительных целых, положительных рациональных и положительных действительных чисел - соответственно, символы Z⁺, Q⁺ и R⁺.