Задание 5. Решить уравнения и системы уравнений методом простой итерации:

Решить уравнения и системы уравнений методом простой итерации:

1) Рассмотрим функцию y(x) = 5*sin(2x)-√ (1-x). Найдем нули функции, используя метод простой итерации. Схематично график функции можно изобразить следующим образом:

> plot(5*sin(2*x)-sqrt(1-x), x=-8..5);

Представим функцию в итерационном виде x = x-m*(5*sin(2x)-√ (1-x)) и рассмотрим отрезок [0; 0, 5], где содержится один из нулей функции. Найдем производную нашей функции и значения производной на концах отрезка:

> diff(5*sin(2*x)-sqrt(1-x), x);

> subs({x = 0}, 10*cos(2*x)+1/2/(1-x)^(1/2));

> subs({x = 0.5}, 10*cos(2*x)+1/2/(1-x)^(1/2));

Получим, что f’(x) = 10*cos(2*x)+1/2/(1-x)^(1/2); min f’(x) = 0.7; max f’(x) = 10.5. Подберем константу: m = 1/max f’(x) = 0.095; q = 1-min f’(x)/max f’(x) = 0.933. Тогда итерационный вид функции будет выглядеть следующим образом: f(x) = x-0.095*(5*sin(2x)-√ (1-x))

Program Iteracia;

uses crt;

var x, y, p: real; e, q: real;

function f(x: real): real;

begin f: =5*sin(2*x)-sqrt(1-x); end;

begin clrscr;

write ('x= '); readln(x);

write ('e= '); readln(e);

write ('q= '); readln(q);

repeat

y: =x-0.095*f(x); p: =y-x; x: =y;

until abs(p)< =e*(1-q)/q;

writeln ('x=', x: 8: 3);

readln;

end.

Выполнение программы:

> x, e, q

> 0 0.1 0.933

> x=0.096

2)

Построим график системы функций:

> plot({-1+sqrt(x+1), -sqrt(-x*x+2*x)+1}, x=-1..1);

> fsolve({y=-1+sqrt(x+1), y=-sqrt(-x*x+2*x)+1});

Возьмем в качестве х0 решение х0 = (1, 96; 0, 72). Вычислим производные функций:

> diff(x2-sqrt(x1+1)=-1, x1);

> diff(x1*x1-2*x1+x2*x2-2*x2+1, x1);

Вычислим частные производные в точке х0:

> subs({x1 = 1.960148043}, -1/2*1/(sqrt(x1+1)));

> subs({x1 =.7205080771}, -1/2*1/(sqrt(x1+1)));

> subs({x1 = 1.960148043}, 2*x1-2);

> subs({x1 =.7205080771}, 2*x1-2);

Для определения коэффициентов аij будем решать систему:

1-0, 29а11+1, 92а12 = 0,

-0, 38а11-0, 56 = 0,

-0, 29а21+1, 92а22 = 0,

1-0, 38а21-0, 56 = 0.

> fsolve({1-0.29*а11+1.92*а12 = 0, 0.38*а11-0.56 = 0, -0.29*а21+1.92*а22 = 0, 1-0.38*а21-0.56 = 0});

Найдем а11 = 1.47, а12 = -0.29, а21 = 1.16, а22 = 0.17

Приведенная система имеет следующий вид:

х1 = х1+1, 47f1-0.29f2,

x2 = x2+1.16f1+0.17f2.

Решим эту систему уравнений:

х1 = 1, 9; х2 = 0, 72.

3)

Построим график системы функций:

> implicitplot({x*x+y*y-2*y, y-exp(-x)}, x=-5..1, y=1..5);

Преобразуем исходную систему к следующему виду:

x2 = 1+sqrt(1-x*x),

x2 = 1/exp(x),

x2 = 1-sqrt(1-x*x),

x2 = 1+sqrt(1-x*x).

> fsolve({x*x+y*y-2*y, y-exp(-x)});

Возьмем в качестве х0 графическое решение х0 = (0, 83; 0, 44). Вычислим частные производные функций:

> diff(x*x+y*y-2*y, x);

> diff(y-exp(-x), x);

Вычислим частные производные в точке х0:

> subs({x =.8267700552}, 2*x);

> subs({x =.4374599785}, 2*x);

> subs({x =.8267700552}, exp(-x));

> subs({x =.4374599785}, exp(-x));

Для определения коэффициентов аij будем решать систему:

1+1.65*а11+e(-0.83)*а12 = 0,

0.87*а11+e(-0.44) = 0,

1.65*а21+e(-0.83)*а22 = 0,

1+0.87*а21+e(-0.44) = 0.

> fsolve({1+1.65*а11+0.44*а12 = 0, 0.87*а11+0.66 = 0, 1.65*а21+0.44*а22 = 0, 1+0.87*а21+0.66 = 0});

Найдем а11 = -0.76, а12 = 0.57, а21 = -1.9, а22 = 7.15

Приведенная система имеет следующий вид:

х1 = х1-0.76*f1+0.57*f2,

x2 = x2-1.9*f1+7.15*f2.

Решим эту систему уравнений:

х1 = 0.83; х2 = 0.43.