Движение к экстремуму методом крутого восхождения.

Движение к экстремуму осуществляется по направлению градиента (антиградиента) функции отклика у.

Вектор градиента определяет направление наискорейшего возрастания функции и для

равен:

где

- единичные векторы в направлении осей координат;

- проекции вектора градиента на оси координат

Для m = 2 движение методом крутого восхождения можно представить:

- центры планов эксперимента первого порядка (ПФЭ)

- центр плана эксперимента второго порядка (ОЦКП)

Последовательные координаты поиска экстремума в факторном пространстве определяются по формуле:

, где

h - задаваемый фактор шага по направлению вектора-градиента;

s - номер точки экспериментирования;

- движение к максимуму (+) или к минимуму (-);

Величина y здесь определяется из уравнения регрессии, которое является линейным относительно факторов и коэффициентов:

Это уравнение используется для локального описания поверхности отклика в областях, далёких от её экстремального значения.

Ограниченная область факторного пространства, где справедливо это уравнение регрессии, задаётся центром области – центром плана эксперимента:

и интервалом (точнее, полуинтервалом) варьирования факторов:

Для локальной области факторного пространства уравнение регрессии записывается с кодированными факторами:

где

В результате минимальному значению фактора соответствует z_j = -1, максимальному - z_j = 1, а центру плана эксперимента – точка с координатами z_j = 0, j = 1, … m

Коэффициенты уравнения регрессии с кодированными факторами отличаются от коэффициентов уравнения регрессии с натуральными значениями факторов x_j и определяются из полного факторного эксперимента (ПФЭ), проведённого в рассматриваемой ограниченной области.

Одним из таких свойств является свойство ротатабельности, которое характеризует равную предсказательную способность уравнения регрессии с кодированными факторами на одинаковом расстоянии от центра плана.

Для характеристики предсказательной способности уравнения регрессии используется оценка дисперсии выходной переменной , которая из-за статистической независимости коэффициентов и их одинаковой дисперсии в случае ПФЭ определяется по формуле:

где

- одинаковая для всех коэффициентов оценка дисперсии ,

где

n - число опытов ПФЭ

- дисперсия воспроизводимости выходной переменной у, определяемая по параллельным опытам

ρ ² - квадрат расстояния из центра плана до рассматриваемой точки факторного пространства:

Величина, обратная , принимается за меру точности уравнения регрессии.

Точность уравнения для убывает пропорционально квадрату радиуса сферы ρ ² и одинакова для всех эквидистантных точек.

Поэтому в факторном пространстве нельзя выделить ни одно предпочтительное направление, и вектор градиента ( )не хуже, в смысле предсказания величины выходной переменной у, чем любое другое направление.

Однако вектор-градиент ( ) характеризует направление наискорейшего возрастания функции у и в этом смысле движение по нему является наиболее предпочтительным.

Для определения координат вектора-градиента ( ) используется адекватное уравнение регрессии, полученное по результатам ПФЭ:

Задаётся фактор шага h, и из центра плана ПФЭ ( - начальное приближение) выполняется шаг по градиенту в сторону экстремального значения функции отклика, определяются координаты нового центра плана в факторном пространстве - .

Здесь снова проводится ПФЭ, обрабатываются его результаты, вычисляется новое направление вектора-градиента:

по которому выполняется шаг

в сторону экстремума. Процедура последовательного экспериментирования продолжается до тех пор, пока не будет достигнута область, близкая к экстремальному значению функции отклика.

Близость почти стационарной области может быть установлена с помощью t – критерия Стьюдента путём оценки значимости различия между экспериментальными и расчётными величинами в центре плана.

Условие близости экстремума функции отклика имеет вид:

где

f_e = k – 1 - число степеней свободы

k - число параллельных опытов

β - заданная доверительная вероятность (обычно 0, 95)