Свойства

[править]Геометрические свойства векторного произведения

Рисунок 1: Площадь параллелограмма равна векторному произведению.

Рисунок 2: Объём параллелепипеда при использовании векторного и скалярного произведения векторов; пунктирные линии показывают проекции вектора c на a × b и вектора a на b × c, первым шагом является нахождение скалярных произведений.

§ Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.

§ Модуль векторного произведения равняется площади S параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах и (см. Рисунок 1)

§ Если — единичный вектор, ортогональный векторам и и выбранный так, что тройка — правая, а S — площадь параллелограмма, построенного на них (приведённых к общему началу), то для векторного произведения справедлива формула:

§ Если — какой-нибудь вектор, π — любая плоскость, содержащая этот вектор, — единичный вектор, лежащий в плоскости π и ортогональный к , — единичный вектор, ортогональный к плоскости π и направленный так, что тройка векторов является правой, то для любого лежащего в плоскости π вектора справедлива формула

§ При использовании векторного и скалярного произведений можно высчитать объём параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах a, b и c (см. Рисунок 2). Такое произведение трех векторов называется смешанным.

На рисунке показано, что этот объём может быть найден двумя способами: геометрический результат сохраняется даже при замене «скалярного» и «векторного» произведений местами:

Величина векторного произведения зависит от синуса угла между изначальными векторами, поэтому векторное произведение может восприниматься как степень «перпендикулярности» векторов также, как и скалярное произведение может рассматриваться как степень «параллельности». Векторное произведение двух единичных векторов равно 1 (единичному вектору), если изначальные векторы перпендикулярны, и равно 0, если векторы параллельны.

[править]Алгебраические свойства векторного произведения

Представление	Описание
	свойство антикоммутативности
	свойство ассоциативности относительно умножения на скаляр
	свойство дистрибутивности по сложению
	тождество Якоби, выполняется в и нарушается в
	формула «БАЦ минус ЦАБ», тождество Лагранжа
	Это частный случай мультипликативности нормы кватернионов
	значение этого выражения называют смешанным произведением векторов a, b, c и обозначают либо

Условия параллельности и перпендикулярности векторов
Так как скалярное произведение двух перпендикулярных векторов и равно 0, то условием перпендикулярности отличных от нуля векторов будет равенство .
При умножении вектора на скаляр получаем вектор одного направления с при λ > 0и противоположного направления при λ < 0. Но всегда векторы будут параллельны.
Поэтому условием параллельности векторов будет пропорциональность их соответствующих координат: .

3)

1.16. Смешанное произведение векторов и его свойства

Смешанным произведением векторов называется число , равное скалярному произведению вектора на векторное произведение векторов и . Смешанное произведение обозначается .

Геометрические свойства смешанного произведения

1. Модуль смешанного произведения некомпланарных векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Произведение положительно, если тройка векторов — правая, и отрицательно, если тройка — левая, и наоборот.

2. Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны:

векторы компланарны.

Докажем первое свойство. Найдем по определению смешанное произведение:, где — угол между векторами и . Модуль векторного произведения (по геометрическому свойству 1) равен площади параллелограмма, построенного на векторах и :. Поэтому . Алгебраическое значение длины проекции вектора на ось, задаваемую вектором , равно по модулю высоте параллелепипеда, построенного на векторах (рис. 1.47). Поэтому модуль смешанного произведения равен объему этого параллелепипеда:

Знак смешанного произведения определяется знаком косинуса угла . Если тройка правая, то и смешанное произведение положительно. Если же тройка левая, то и смешанное произведение отрицательно.

Докажем второе свойство. Равенство возможно в трех случаях: или (т.е. ), или (т.е. вектор принадлежит плоскости векторов и ). В каждом случае векторы компланарны (см. разд. 1.1).

Алгебраические свойства смешанного произведения

1. При перестановке двух множителей смешанное произведение изменяет знак на противоположный:

При циклической (круговой) перестановке множителей смешанное произведение не изменяется:

2. Смешанное произведение линейно по любому множителю.

Первое свойство следует из геометрического свойства 1 и свойств ориентации троек векторов (см. разд. 1.9), поскольку от перестановки двух множителей модуль смешанного произведения не изменяется, а меняется только ориентация тройки. При циклической перестановке векторов ориентация тройки не изменяется.

Второе свойство следует из линейности скалярного произведения и свойства 1.

Пример 1.21. Объем параллелепипеда, построенного на векторах , равен . Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах.

Решение. Используя алгебраические и геометрические свойства, найдем смешанное произведение

а затем его модуль . По первому геометрическому свойству смешанного произведения искомый объем равен .

Теорема 1.9 (формула вычисления смешанного произведения). Если векторы в правом ортонормированном базисе имеют координаты ; ; соответственно, то смешанное произведение этих векторов находится по формуле

В самом деле, учитывая (1.10) и (1.15), по определению находим:

что и требовалось доказать.

4)