Замена переменной в определенном интеграле.

Пусть функция y = f(x) определена и непрерывна на отрезке [a; b]. Множество [a; b] является областью значений некоторой функции x = g(z), которая определена на интервале и имеет на нем непрерывную производную, причем и , тогда .

Этой формулой удобно пользоваться в тех случаях, когда нам требуется вычислить интеграл , причем неопределенный интеграл мы бы искали методом подстановки.

Интегрирование по частям при вычислении определенного интеграла.

Пусть на отрезке [a; b] определены и непрерывны функции u(x) и v(x) вместе со своими производными первого порядка и функция – интегрируема, тогда на этом отрезке интегрируема функция и справедливо равенство .

Этой формулой удобно пользоваться в тех случаях, когда нам требуется вычислить интеграл , причем неопределенный интеграл мы бы искали интегрированием по частям.

10. БИЛЕТ Несобственные интегралы.

Определенный интеграл ∫ abf(x)dx называется несобственным интегралом, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:

Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;

Функция f(x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри интервала [a, b]

Бесконечные пределы интегрирования

Пусть f(x) является непрерывной функцией в интервале [a, ∞). Несобственный интеграл определяется через предел следующим образом:

∫ a∞ f(x)dx=limn→ ∞ ∫ anf(x)dx.

Рассмотрим также случай, когда функция f(x) непрерывна в интервале (− ∞, b]. В этом случае несобственный интеграл определяется как

∫ − ∞ bf(x)dx=limn→ − ∞ ∫ nbf(x)dx.

Если указанные выше пределы существуют и конечны, то говорят что несобственные интегралы сходятся. В противном случае интегралы расходятся

Интеграл от разрывной функции

Пусть функция f(x) непрерывна в интервале [a, b), но имеет разрыв в точке x=b. В этом случае несобственный интеграл определяется в виде

∫ abf(x)dx=limτ → 0+∫ ab− τ f(x)dx.

Аналогично можно рассмотреть случай, когда функция f(x) непрерывна в интервале (a, b], но имеет разрыв при x=a. Тогда

∫ abf(x)dx=limτ → 0+∫ a+τ bf(x)dx.

Если приведенные выше пределы существуют и конечны, то соответствующие несобственные интегралы сходятся. В противном случае они считаются

расходящимися.

Пусть f(x) непрерывна для всех действительных x в интервале [a, b], за исключением некоторой точки c∈ (a, b). Тогда справедливо соотношение

∫ abf(x)dx=∫ acf(x)dx+∫ cbf(x)dx,

несобственный интеграл ∫ abf(x)dx сходится, если оба интеграла в правой части верхнего равенства сходятся. В противном случае несобственный интеграл

расходится.

Билет. Дифференциальные уравнения- основные понятия.

Дифференциальное уравнение уравнение, содержащее в себе независимую х, искомую функцию у и производные разных порядков по х.

Общий вид: F(x, y, y’, y’’…y^n)=0

Порядок старшей производной дифференциального уравнения называется его порядком.

Решение Д.У.

Функция y=y(x) такая, что при подстановке в уравнение вместо символа y- y(x), вместо y’- ее производной, вместо y’’- ее второй производной и т.д. получается равенство, верное для любого x.

Общее решение - функция, зависящая от х и символов С1, С2, С3, такая, что при любых значениях Сn она является решением данного д.у.

Частное решение - чаще всего следует из подразумеваемого общего, получено из него путем подстановки вместо С каких-то конкретных чисел.

Задача Коши - в ней нужно найти частное решение д.у., удовлетворяющее каким-то начальным условиям. Его решение сводится к нахождению общего решения, затем подставляют начальные условия, находят искомые числовые значения.