Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
|
Натуральные числа.
Понятие натурального числа, вызванное потребностью счёта предметов, возниклоещё в доисторические времена. Процесс формирования понятия натурального числапротекал следующим образом. На низшей ступени первобытного общества понятиеотвлеченного числа отсутствовало. Это не значит, что первобытный человек немог отдавать себе отчёта о количестве предметов конкретно даннойсовокупности, например о количестве людей, участвующих в охоте, о количествеозёр, в которых можно ловить рыбу, и т.д. Но в сознании первобытного человекаещё не сформировалось то общее, что есть в объектах такого рода, какнапример, «три человека», «три озера» и т.д. Анализ языков первобытныхнародностей показывает, что для счёта предметов различного рода употреблялисьсловесные обороты. Слово «три» в контекстах «три человека», «три лодки»передавались различно. Конечно, такие именованные числовые ряды были оченькороткими и завершались индивидуализированным понятием («много») о большомколичестве тех или других предметов, которое тоже являлось именованным, тоесть выражалось разными словами для предметов разного рода, такими, как«толпа», «стадо», «куча» и т.д.Источником возникновения понятия возникновения отвлечённого числа являетсяпримитивный счёт предметов, заключающийся в сопоставлении предметов даннойконкретной совокупности с предметами некоторой определённой совокупности, играющей как бы роль эталона.У большинства народов первым таким эталоном являются пальцы («счёт напальцах»), что с несомненностью подтверждается языковедческим анализомназваний первых чисел. На этой ступени число становится отличенным, независящим от качества считаемых предметов, но вместе с тем выступающим вовполне конкретном осуществлении, связанном с природой эталонной совокупности.Расширяющиеся потребности счёта заставили людей употреблять другие счётныеэталоны, такие, как, например, зарубки на палочке. Для фиксации сравнительнобольших чисел стала использоваться новая идея – обозначения некоторогоопределенного числа (у большинства народов - десять) новым знаком, напримерзарубкой на другой палочке.С развитием письменности возможности воспроизведения числа значительнорасширились. Сначала числа стали обозначаться чёрточками на материале, служащем для записи (папирус, глиняные таблички и т.д.). Затем были введеныдругие знаки для больших чисел. Вавилонские клинописные обозначения числа, так же, как и сохранившиеся до наших дней «римские цифры», ясносвидетельствуют именно об этом пути формирования обозначения для числа. Шагомвперёд была индийская позиционная система счисления, позволяющая записатьлюбое натуральное число при помощи десяти знаков – цифр. Таким образом, параллельно с развитием письменности понятие натурального числа закрепляетсяв форме слов в устной речи и в форме обозначения специальными знаками вписьменной.Важным шагом в развитии понятия натурального числа является осознаниебесконечности натурального ряда чисел, т.е. потенциальной возможности егобезграничного продолжения.Натуральные числа, кроме основной функции – характеристики количествапредметов, несут ещё другую функцию – характеристику порядка предметов, расположенных в ряд. Возникающее в связи с этой функцией понятие порядковогочисла (первый, второй и т.д.). В частности, расположения в ряд считаемыхпредметов и последующий их пересчёт с применением порядковых чисел являетсянаиболее употребляемым с незапамятных времён способом счёта предметов (так, если последний из пересчитываемых предметов окажется седьмым, то это иозначает, что имеется семь предметов.).Вопрос об обосновании понятия натурального числа долгое время в науке неставился. Понятие натурального числа столь привычное, что не возниклопотребности в его определении в терминах каких- либо более простых понятий.Лишь в середине 19 в. под влиянием развития аксиоматического метода вматематике, с одной стороны, и критического пересмотра основ математическогоанализа – с другой, назрела необходимость обоснования понятия количественногонатурального числа. Отчётливое определение понятия натурального числа на основепонятия множества (совокупности предметов) было дано в 70-х гг.19в. в работахГ. Кантора. Сначала он определяет понятие равномощности совокупностей. Именно, две совокупности называются равномощности, если составляющие ихпредметы могут быть сопоставлены по одному. Затем число предметов, составляющихданную совокупность, определяется что-то общее, что имеет данная совокупность ивсякая другая, равномощная ей совокупность предметов, независимо от всякихкачественных особенностей этих предметов. Такое определение отражает сущностьнатурального числа как результата счёта предметов, составляющих даннуюсовокупность. Действительно, на всех исторических уровнях счёт заключается всопоставлении по одному из считаемых предметов и предметов, составляющих даннуюсовокупность. Действительно, на эталонную совокупность на ранних ступенях –пальцы рук и зарубки на палочке и т.д. на современном этапе – слова и знаки, обозначающие число. Определение данное Кантором, было отправным пунктом дляобобщения понятия количественного числа в направлении количественнойхарактеристики бесконечных множеств.
Данная страница нарушает авторские права?