Вимушені механічні коливання

Вимушені коливання це такі, коли на систему за допомогою зв’язку діє ззовні періодична сила, яка викликає коливання системи. Нехай на коливну систему діють три сили:

– відновлююча сила (пружна сила);

– сила опору (сила, яка викликає згасання коливної системи);

– періодична збурююча сила (вимушуюча сила);

– основне рівняння динаміки для вимушених прямолінійних коливань.

– диференціальне рівняння руху коливної точки під дією пружної сили, сили опору та періодичної зовнішньої сили.

– диференціальне рівняння вимушених коливань.

– розв’язок диференціального рівняння для вимушених коливань, які встановились.

– статичне зміщення коливної точки.

Усталені вимушені коливання системи, які виникають під дією сили є гармонічними, причому їх циклічна частота дорівнює циклічній частоті вимушуючої сили.

– фазове зміщення резонатора відносно збурюючої сили (зсув фаз між зміщенням і вимушуючою силою).

– зсув фаз між швидкістю усталених вимушених коливань і вимушуючою силою.

(*)

– амплітуда усталених вимушених коливань, яка прямо пропорційна амплітуді вимушуючої сили , обернено пропорційна масі системи і зменшується із збільшенням коефіцієнта затухання . Якщо , і сталі, амплітуда залежить тільки від співвідношення між циклічними частотами вимушуючої сили і вільних незатухаючих коливань системи .

– фазове зміщення

– початкова фаза, тобто зсув фаз...................................

Резонанс – це явище різкого зростання амплітуди, коли .

Рис.1. Залежність амплітуди від частоти прикладеної сили для різних фіксованих значень коефіцієнта згасання .

Очевидно, максимальне значення амплітуди буде при мінімальному значенні підкореневого виразу у формулі (*). Умовою мінімуму є рівність нулю похідної за частотою підкореневого виразу, тобто

()

Звідси

– резонансна частота.

– величина резонансної амплітуди.

Залежність зображена на рис.2. Видно, що незалежно від величини коефіцієнта згасання при різниця фаз складає .

Рис.2. Залежність -фазового зміщення резонатора від частоти -збуджуючої сили.

Приклади розв’язування задач