Билинейная форма. Связь с квадратичной формой. Приведение симметричной билинейной формы к каноническому виду

Говорят, что в линейном пространстве над числовым полем определена билинейная форма , если любым из ставится в соответствие определенное действительное число , причем функция является линейной по каждому аргументу.

Если в линейном пространстве фиксирован базис и , (), то билинейная форма имеет вид , где . Матрица называется матрицей билинейной формы в базисе .

Если в линейном пространстве фиксированы два базиса , и , то закон преобразования матрицы билинейной формы записывается в виде (84)

Билинейная форма называется симметричной, если для любых из .

Теорема 6 В линейном пространстве билинейная форма симметрична тогда и только тогда, когда ее матрица симметрична.

Пусть задана билинейная форма в линейном пространстве . Рассмотрим функцию одного векторного аргумента: , . Если положить , то , . Из последней записи видно, что является квадратичной формой от переменных , которые интерпретируются как координаты элемента в базисе , т.е. . Каждой билинейной форме соответствует одна квадратичная форма. Каждую же квадратичную форму можно получить из бесконечного числа билинейных форм, среди которых имеется единственная симметричная билинейная форма.

Теорема 7 Для любой симметричной билинейной формы существует канонический базис , в котором эта форма имеет канонический вид , где , , .

Пусть симметричная билинейная форма в базисе имеет матрицу . Тогда соответствующая ей квадратичная форма имеет ту же матрицу . Для квадратичной формы существует линейное невырожденное преобразование , которое приводит эту квадратичную форму к каноническому виду . Канонический базис и канонический вид билинейной формы определяются соотношениями и .