Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Гипербола
Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (равная , меньшая, чем расстояние между фокусами). Каноническое уравнение гиперболы: , (46) где - действительная полуось, - мнимая полуось, и называются соответственно действительной и мнимойосями гиперболы. Координаты фокусов: , , - половина расстояния между фокусами (рисунок 66). Числа и связаны соотношением (47)
Рисунок 66
Рисунок 66 Точки и называются вершинами гиперболы, точка - центром гиперболы, расстояния и от произвольной точки гиперболы до ее фокусов называются фокальными радиусами этой точки.
Эксцентриситетом гиперболы называется число, равное отношению расстояния между фокусами к длине действительной оси. Число (, т.к. ) (48) называется эксцентриситетом гиперболы.
Фокальные радиусы определяются формулами: для точек правой ветви гиперболы: , ; для точек левой ветви: , .
Прямоугольник, центр которого совпадает с точкой , а стороны равны и параллельны осям гиперболы называется основным прямоугольником гиперболы. Диагонали основного прямоугольника гиперболы лежат на двух прямых, называемых асимптотами гиперболы; они определяются уравнениями (49) Две прямые и , перпендикулярные действительной оси гиперболы, расположенные симметрично относительно центра и отстоящие от него на расстоянии, равном , называются директрисами гиперболы. Их уравнения: и .
Замечания: 1) Если , то гипербола называется равносторонней (равнобочной). Ее уравнение принимает вид . 2) если фокусы гиперболы лежат на оси , то уравнение гиперболы имеет вид: (50) Эксцентриситет этой гиперболы равен , асимптоты определяются уравнениями , а уравнения директрис . Гипербола (50) называется сопряженной гиперболе; если она имеет вид, изображенный на рисунке 67; 3) уравнение гиперболы с центром в точке с координатами , имеет вид (рисунок 68).
Рисунок 67 Рисунок 68
Теорема. Отношение расстояний от любой точки гиперболы до фокуса и соответствующей директрисы равно эксцентриситету.
|