Негізгі теоремалар

3.1. Тең деудің белгілі бір шешімінің орнық тылығ ын зерттеу оның жалпы, не дара шешімдері белгілі болса, қ иындық тудырмайды. Ал шешім айқ ын тү рде табыла бермейді. Ляпунов ө з зерттеулерінде кейбір шарттарды қ анағ аттандыратын арнаулы функциялар енгізу арқ ылы тең деуді шешпей-ақ, оның нө лдік шешімінің орнық тылығ ын анық тауғ а болатынын кө рсетті. Бұ л ә дісті Ляпуновтың екінші ә дісі деп атайды. Енді осы ә дістен шығ атын кейбір тұ жырымдарды келтірейік.

Анық тама-1. Ү здіксіз дифференциалданатын функциясы нү ктесінің кейбір аймағ ында анық талғ ан оң таң балы деп аталынады, егер

Ал егер болса, онда функциясы анық талғ ан теріс таң балы деп аталынады.

Анық тама-2. функциясы аймағ ында тұ рақ ты таң балы деп аталады, егер ол осы аймақ та тек бір ғ ана таң балы мә н қ абылдаса, ал нө лге координат жү йесінің бас нү ктесінен басқ а нү ктелерде де айналып жатса.

Анық тама-3. Анық талғ ан оң таң балы функциясы Ляпунов функциясы деп аталынады, егер оның берілген жү йе, не тең деу бойынша алынғ ан туындысы теріс таң балы болса.

Бұ л анық таманы теріс таң ба арқ ылы беруге де болады: анық талғ ан теріс таң балы функциясы Ляпунов функциясы деп аталады, егер оның берілген жү йе, не тең деу бойынша алынғ ан туындысы оң таң балы болса. Жалпы, функциясы Ляпунов функциясы болу ү шін оның жү йе бойынша алынғ ан туындысының таң басы кері болуы немесе нө лге тең болуы шарт.

Теорема-1 (Ляпуновтың орнық тылық туралы теоремасы). Егер жү йенің тең бе-тең дік қ алпы нү ктесінің кейбір аймағ ында Ляпунов функциясы бар болса, онда тең бе-тең дік қ алып Ляпунов мағ ынасында орнық ты болады.

Дә лелдеуі. функциясы анық талғ ан оң таң балы болсын. нү ктесінің аймағ ында шарын қ арастырайық. -сол шардың сферасы (шекарасы) болсын, . - шектелген тұ йық жиын болғ андық тан, ал - ү здіксіз функция болғ андық тан, ә рі деп алынғ андық тан,

Енді шарын алайық. болғ андық тан, санын соншалық ты кіші етіп алуғ а болады жә не сол ү шін

.

Енді егер деп алсақ, онда болатынын кө рсетейік . аймағ ында болғ андық тан, яғ ни монотонды ө спейтін функция болғ андық тан, жә не кез келген аралығ ында шешімінің бойында тең сіздігі орындалады. Сондық тан, шарының ішінен басталатын траектория шарынан шығ ып кете алмайды, ө йткені болғ анда , ал траектория бойында . Осыдан болатынын кө реміз, яғ ни нө лдік шешім орнық ты.

Теорема-2 (Ляпуновтың асимптотикалық орнық тылық туралы теоремасы). Егер жү йенің тең бе-тең дік нө лдік қ алпының кейбір аймағ ында анық талғ ан оң таң балы функциясы бар болса, ал оның жү йе бойынша алынғ ан толық туындысы анық талғ ан теріс таң балы болса, онда тең бе-тең дік қ алып асимптотикалық орнық ты болады.

Дә лелдеуі. Алдың ғ ы теореманың дә лелдеуінде келтірілген жә не шарлары ү шін болғ анда тең сіздігі орындалатыны кө рсетілді. Енді функциясын қ арастырайық. болғ андық тан, функциясы кемімелі болады жә не оның шегі бар: .

Осындағ ы санының нө лге тең болатынын кө рсетейік (егер болса, онда теорема орындалып тұ р). Кері жориық, болсын. Бұ л жағ дайда шекке кө шкенге дейін ү шін шарты орындалады жә не кейбір саны ү шін тең сіздігі орын алады (Кері жағ дайда, функциясы траектория бойында ө те кіші аз мә н қ абылдағ ан болар еді). Теореманың шарты бойынша тең сіздіктері арқ ылы анық талатын екі шар аралығ ында , яғ ни

Осыдан аралығ ында интеграл алсақ:

немесе

Бұ л қ атынастың оң жағ ы болғ анда теріс мә н қ абылдайды, бұ л функциясының анық талғ ан оң таң балы екеніне қ арама-қ арсы. Осы қ айшылық теореманы дә лелдейді.

Теорема-3 (Четаевтың орнық сыздық туралы теоремасы). Айталық, кейбір аймағ ында ү здіксіз дифференциалданатын функциясы тө мендегідей шарттарды қ анағ аттандырсын:

1) ,

2) аймағ ының облысына жататын ішкі шекара нү ктелерінде болсын. Бұ л жағ дайда жү йенің тең бе-тең дік қ алпы орнық сыз.

Дә лелдеуі. аймағ ының нү ктесінен шығ атын шешімнің траекториясы болсын. Осы траектория бойымен алынғ ан функциясы болғ анда тең сіздіктерін қ анағ аттандырады. Сондық тан, сол ү шін тең сіздігі орын алады, яғ ни ол қ атаң ө сетін функция. Бұ л жағ дайда траектория тең дігі орындалатын ішкі шекара нү ктелерді басып ө те алмайды, бірақ ол ө сіп отыратын болғ андық тан, аймағ ынан шығ ып кетеді. Сондық тан, тең бе-тең дік қ алып орнық сыз.

Теорема-4. Автономды жү йенің анық талғ ан оң таң балы интегралы бар болса, ол жү йенің тең бе-тең дік қ алпы орнық ты.

Дә лелдеуі. Егер анық талғ ан оң таң балы функция жү йенің интегралы болса, онда анық тама бойынша тепе-тең дігі орындалады. Сондық тан, функциясы Ляпуновтың бірінші теоремасының шарттарын қ анағ аттандырып тұ р, яғ ни нө лдік шешім орнық ты.

Теорема-5. Айталық, нү ктесі берілген жү йенің тең бе-тең дік қ алпы болсын, ал Ляпунов функциясы ү шін

(6)

шарттары орындалсын. Бұ л жағ дайда кейбір саны ү шін

(7)

тең сіздігі орындалады.

Дә лелдеуі. шешімі ү шін функциясын қ ұ райық. Теорема шарты бойынша: немесе . Осыдан аралығ ында интеграл алсақ, қ атынасын аламыз. (6) тең сіздіктердің екіншісін пайдалансақ,

қ атынастары шығ ады, ал бұ дан (7) тең сіздік оң ай шығ ады. Ол ү шін тең сіздіктің екі жағ ын санына бө ліп, тү бір тапсақ, жеткілікті.