Автономды жүйелердің қасиеттері

1.1. Егер дифференциалдық тең деулер жү йесіне тә уелсіз айнымалы айқ ын тү рде енбесе, онда оны автономды жү йе деп атайды. Оның қ алыпты тү рі былай жазылады:

ал векторлық тү рде қ ысқ аша былай жазылады:

(1)

Мұ ндағ ы, векторы кейбір облысында ү здіксіз жә не осы облыстың шектелген тұ йық бө лігінде Липшиц шартын қ анағ аттандыратын функция деп есептелінеді.

Жалпы, кез келген автономды емес қ алыпты жү йені қ осымша белгілеу енгізу арқ ылы автономды жү йеге келтіруге болады.

Мысалы,

жү йесі ү шін белгілеуін енгізсек, онда

тү ріндегі автономды жү йе аламыз. Бұ л жү йенің белгісіз функциялар саны бірге ө сті. Жалпы, жү йенің ө лшемінің ө суі ұ тымсыз жағ дай болып есептелінеді.

Автономды жү йелерді динамикалық, консервативтік жү йелер деп те атайды. Мұ ндай жү йелерді зерттеудің ө зіндік ерекшеліктері бар.

Автономды жү йенің кез келген шешімі -кең істігінде кейбір қ исық ты айқ ындайды. Бұ л қ исық ты , нү ктелер жиыны деп қ арастыруғ а болады. Осы қ исық ты берілген жү йенің фазалық траекториясы (қ ысқ аша, траектория) деп атайды. Ал осы траекториялар орналасқ ан кең істігін автономды жү йенің фазалық кең істігі деп атайды. Фазалық кең істік болғ анда фазалық жазық тық қ а айналады.

Автономды (1) жү йенің шешіміне сә йкес интегралдық қ исық - ө лшемді кең істігінде жатады. Ол қ исық нү ктелердің жиыны. Сондық тан, (1) жү йенің шешімінің траекториясы сол шешімге сә йкес интегралдық қ исық тың кең істігіне тү сірілген кө лең і (проекциясы) болып табылады.

Ә рбір дифференциалдық тең деу берілген облыста векторлар ө рісін айқ ындайды. Осы ө рістің кейбір нү ктелерінде векторы нө лге тең болса, ондай нү ктелерді ерекше нү ктелер деп, ал нө лге тең болмайтын нү ктелерді регулярлық нү ктелер деп атайды.

1.2. Автономды жү йенің кейбір қ асиеттеріне тоқ талайық.

Егер векторы (1) жү йенің шешімі болса, онда кез келген тұ рақ ты -саны ү шін векторы да сол жү йенің шешімі болады.

Шынында да, егер (1) жү йеде -ның орнына -ны қ ойсақ, жү йе ө згермейді:

Мұ нда, егер шешімі кейбір аралығ ында анық талса, онда шешімі аралығ ында анық талады.

Екі фазалық траекториялардың ортақ нү ктелері болмайды, ал болғ ан жағ дайда олар бір траетория болып есептелінеді.

Шынында да, айталық, - сә йкес жә не шешімдерінің траекториялары болсын жә не олардың ортақ нү ктесі болсын, яғ ни .

Енді векторын қ арастырайық. Бұ л вектор -қ асиет бойынша (1) жү йенің шешімі болады жә не . Шешімнің жалғ ыздығ ы бойынша бұ л екі шешім бір шешім: . Бұ дан жә не траекторияларының бір екенін кө реміз.

Анық тама-1. -нү ктесі автономды (1) жү йенің тең бе-тең дік қ алпы немесе тыныштық нү ктесі деп аталынады, егер

Егер -нү ктесі жү йенің тең бе-тең дік қ алпы болса, онда фазалық траектория болады жә не ол траектория бір нү ктеден тұ рады.

Шынында да, бұ л жағ дайда шешім болады:

Тынық тық нү ктесінен басқ а фазалық траекториялар тегіс қ исық болады, яғ ни олардың ә рбір нү ктесіне жү ргізілген жанама вектор анық талғ ан болады.

Шынында да, егер жү йенің шешімі болса, онда нү ктесіндегі жанама вектор -ғ а тең. Ал ол -ғ а тең жә не . (Егер болса, онда -нү ктесі тыныштық нү ктеге айналғ ан болар еді).

Автономды жү йенің шешімдері топтық қ асиетті қ анағ аттандырады.

Айталық, бастапқ ы Коши есебін қ анағ аттандыратын шешім болсын:

Осы шешім ү шін мынандай қ атынастар орындалады:

Дә лелдеуі. Тө мендегідей екі вектор-функция қ ұ райық:

Бұ лардың екеуі де -қ асиет бойынша (1) жү йенің шешімдері болады. Егер деп алсақ, онда

яғ ни . Шешімнің жалғ ыздығ ы бойынша . Осыдан

Осы сияқ ты жә не функцияларын

тү рінде алсақ, онда

тең дігін аламыз, яғ ни қ асиетте келтірілген екі тең діктің де орындалатынын кө реміз.

Егер шешімінің фазалық траекториясы тегіс тұ йық қ исық болса, онда шешім периодты болады.

Дә лелдеуі. шешімінің тұ йық траекториясын -деп белгілейік. Шешімнің периодты екенін кө рсетейік. Траектория бойынан кейбір нү ктесін алайық. -қ асиет бойынша деп алуғ а болады. -тұ йық қ исығ ының ұ зындығ ын -деп белгілейік. Дифференциалдық геометриядан белгілі, доғ а ұ зындығ ы былай есептелінеді:

-тұ йық шектелген кө птік болғ андық тан жә не осы бойында шарты орындалғ андық тан, кейбір сандары ү шін

тең сіздіктері орындалады.

Айталық, доғ асы қ исығ ының бір бө лігі болсын: . Ол доғ аның ұ зындығ ы былай анық талады:

Осыдан

, егер болса.

Мұ нда функциясы монотонды ө сетін функция жә не ол шексіздікке ұ мтылады, ө йткені . Сондық тан, тек жалғ ыз ғ ана саны табылады жә не сол сан ү шін тең дігі орындалады. Осыдан , яғ ни саны шешімінің ең кіші периоды болғ аны. Кері жағ дайда, яғ ни болғ анда -доғ асы -қ исығ ының бір бө лігі ретінде, оның ұ зындығ ы -ден кіші болар еді. Ал дә лелдегеніміз бойынша . Сонымен, периодтылық тың қ ажетті жә не жеткілікті шарты: орындалғ андық тан, функциясы периодты шешім болады, яғ ни . Егер соң ғ ы тең діктегі -ның орнына -ны қ ойсақ, онда тең дігін аламыз. Бұ дан шығ атын қ орытынды: егер шешімнің периоды болса, онда саны да сол шешімнің периоды болады. Жалпы, кез келген бү тін саны ү шін -саны период болады .

Сонымен, жоғ арыда келтірілген қ асиеттерді қ орытындылай келе мынандай тұ жырым аламыз.

Теорема-1. Автономды жү йенің фазалық траекториясы тө мендегідей ү ш тү рлі болады:

1) тең бе-тең дік қ алып – нү кте;

2) ө зін-ө зі қ имайтын тегіс қ исық;

3) тұ йық тегіс қ исық - цикл.