Теоретическая часть. Цель работы: понять основные понятия и методы расчета фрактальной размерности, научиться исследовать поведение систем по временным реализациям путем

РАСЧЕТ ФРАКТАЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ

Цель работы: понять основные понятия и методы расчета фрактальной размерности, научиться исследовать поведение систем по временным реализациям путем построения псевдофазового пространства, восстановления аттрактора и расчета боксовой размерности.

Теоретическая часть

Фрактальная размерность.

Говоря о фрактальной размерности, можно грубо определить, что она характеризует геометрическую сложность пространственного объекта. Представим, что у нас есть прибор, который служит для измерения площади областей на плане или карте: прозрачная пластинка, на которой нанесена квадратная сетка с заданным шагом. Наложив его на карту, можно подсчитать число квадратиков, попавших внутрь области, и получить оценку площади снизу, или подсчитать количество квадратиков, полностью покрывающих область, и получить оценку площади сверху. Чем меньше размер квадратиков сетки, тем точнее будет оценка.

Как будет зависеть количество ячеек сетки, покрывающих область, от размера ячейки ? При уменьшении это число будет возрастать как (рис. 4.1 а). Если же мы рассмотрим покрытие не области, а отрезка линии, то получим (рис. 3.1 б).

Рисунок 3.1 – Покрытие двумерной области (а) и отрезка кривой (б)

ячейками квадратной сетки

Оба соотношения имеют вид: , причем показатель следует интерпретировать как размерность рассмотренных множеств: для области , а для отрезка линии . Размерность выступает как число, характеризующее скорость роста числа ячеек покрытия данного множества при уменьшении размера ячеек. Логарифмируя соотношение и устремляя к нулю, можно записать

где основание логарифма произвольное.

Если применить аналогичный подход к таким объектам, как канторово множество или ковер Серпинского, то величина оказывается дробной. Это дало основание для термина фрактали для того, чтобы именовать величину фрактальной размерностью(от слова fraction — дробь).

Боксовая размерность

Существует ряд методов и подходов к определению (и трактованию) фрактальных размерностей, среди которых, благодаря относительной простоте определения и распространенности, выделяется боксовая (клеточная) размерность (box-counting dimension). Технически её вычисление сводится к следующей процедуре:

· Объект покрывается квадратной сеткой с ячейками известного размера

· Подсчитывается количество ячеек, которые оказались содержащими фрагмент исследуемого объекта. Сохраняется пара значений " размер (длина стороны) ячейки" - " количество ячеек содержащих объект".

· Сетка детализируется - т.е. размер ячеек уменьшается, и, соответственно, количество ячеек, содержащих объект, увеличивается. Сохраняется новая пара значений.

· Процедура детализации повторяется многократно.

· Получаем два следующих ряда: Размеры ячеек () и количество содержащих объект ячеек(N):

· Согласно методу вычисления боксовой размерности, её значение будет равно угловому коэффициенту линии регрессии, построенной на плоскости по рядам значений log(N) и log(1/ ).

·

Фрактальная структура странных аттракторов

Одним из самых распространенных операторов эволюции являются системы обыкновенных дифференциальных уравнений . Траектория называется - мерным потоком. Для систем с наличием диссипации (трения) все траектории притягиваются к некоторому множеству (аттрактору), размерность которого меньше, чем у исходного фазового пространства.

В случае регулярного потока движение на аттракторе является простым. Это может быть, например, неподвижная точка или периодическая траектория. Для двумерных потоков существуют фактически только эти две возможности. Для трехмерных (и большей размерности) потоков существуют аттракторы с очень сложной геометрической (фрактальной) структурой - странные аттракторы.

Фазовые траектории хаотического процесса никогда не бывают замкнутыми, не повторяются и стремятся заполнить некоторую область фазового пространства, называемую странным аттрактором. Странный аттрактор занимает ограниченную область фазового пространства системы, к которому притягиваются все достаточно близкие траектории. Сам аттрактор состоит как бы из одной траектории, т.е. с течением времени траектория должна пройти через каждую точку аттрактора. Аттрактор обладает сильной чувствительностью к начальным условиям. Странный аттрактор имеет сложную фрактальную структуру и дробную размерность.

Множество называются фрактальным, если оно обладает свойством самоподобия (масштабной инвариантности). Это значит, что некоторые фрагменты его структуры строго повторяются через определенные пространственные промежутки. Фрактальные объекты могут иметь любую природу, причем их вид и форма остаются неизменными независимо от масштаба.

Расчет фрактальной размерности по одной временной реализации.

Главная идея применения методов нелинейной динамики к анализу траектории динамической системы состоит в том, что основная структура, содержащая в себе всю информацию о системе, а именно, аттрактор динамической системы, может быть восстановлена через измерение только одной компоненты этой динамической системы. Процедура реконструкции фазового пространства и восстановление аттрактора системы сводится к построению псевдофазового пространства. Во многих практических ситуациях восстановление аттрактора может оказаться единственным способом, позволяющим производить его наблюдение.

Функция восстановления (процедура Паккарда-Такенса) определяется как , где — i-я компонента траектории системы, а — период дискретизации, выбираемый некоторым произвольным образом.

Восстановление аттрактора можно производить практически при любом значении , однако все же существуют определенные ограничения. Если значение t слишком мало, автокорреляция между значениями и близка к единице, и восстановленный аттрактор оказывается ограниченным областью вблизи диагонали пространства, в котором производится восстановление. Если же значение слишком велико, а система является хаотической, то значения и оказываются некоррелированными и структура аттрактора исчезает.

На рис. 3.2 показаны фазовые портреты аттрактора системы Лоренца, восстановленные по значениям компоненты x (t ) при значениях t (в долях от единицы времени) t =0.05 (а), t =0.15 (б), t =0.5 (в), t =0.75 (г).

Рис. 3.2. Фазовые портреты аттрактора системы Лоренца, восстановленные по значениям компоненты x (t) при разных значениях t