Плотность вероятности ординат монотонной функции случайного аргумента

Пусть две случайные величины Х и Y связаны монотонной функциональной зависимостью Требуется найти плотность вероятности , если плотность вероятности известна. Рассмотрим отдельно два случая, когда функция монотонно возрастает и монотонно убывает.

а б

Рис. 96

1. Функция на интервале монотонно возрастает (рис. 96, a). На рис. 96, б проведем прямую, параллельную оси X и находящуюся на расстоянии у от неё. Тогда интегральная функция распределения

так как событие, состоящее в том, что случайная величина Y примет значение, меньшее у, равносильно тому, что случайная величина Х примет значение меньше х, где – функция обратная функции Поэтому

(А.68)

Согласно формуле (А.20), плотность вероятности находится дифференцированием выражения (А.68).

(А.69)

Таким образом, . (А.70)

Равенство (А.70) можно переписать в виде:

. (А.71)

2. Функция на интервале монотонно убывает

(рис. 96, б). В данной ситуации выполнение неравенства Y < y равнозначно тому, что случайная величина . Поэтому

.

Плотность вероятности

или (А.72)

Правая часть выражения (А.72) положительна, так как . Поэтому формулы (А.70) и (А.72) можно объединить в одну:

. (А.73)

приложение b