Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Среднее значение
|
|
Среднее значение является важнейшей, хотя и грубой, характеристикой случайной величины X. Она характеризует среднее, ориентировочное значение, около которого группируются все возможные значения случайной величины. Чтобы установить правило, по которому её вычисляют, рассмотрим сначала дискретную случайную величину X, характеризуемую рядом распределения
| xi | x 1 | x 2 | … | xn |
| P (xi) | P (x 1) | P (x 2) | … | P (xn) |
где xi – возможные значения, которые принимает на опыте случайная величина X, а P (xi) – их вероятности появления.
Пусть произведено большое число N измерений случайной величины Х так, что значение x 1 было наблюдено т 1 раз, х 2 – m 2 раз,... xn – mn раз. При этом
.
Среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины X равно:
| (А23) |
,
где 
- величина, характеризующая, как часто принимает в опыте значение xi случайная величина X. Величину 
называют частотой события xi. Дальше будет доказано, что частота с вероятностью почти единица (т. е. достоверно) равна вероятности 
, если только число опытов 
(Теорема Бернулли). С учётом этой теоремы равенство (А23) можно переписать в виде:
| (А24) |
.
Величину (А24) называют средним значением случайной величины Х и обозначают 
. Таким образом, среднее значение дискретной случайной величины Х равно сумме произведений каждого из ее возможного значения xi на его вероятность Р (хi).
В случае непрерывной случайной величины Х нетрудно получить аналогичное выражение для вычисления ее среднего значения:
| (А25) |
.
Для доказательства формулы (А.25) перейдем от непрерывной случайной величины X, заданной на интервале (-¥, +¥), к дискретной X¢ по следующему правилу. Разобьем интервал (-¥, +¥) достаточно малыми отрезками 
.Каждому из этих отрезков сопоставим число xi, соответствующее, к примеру, границе D x. В результате получим дискретную случайную величину X ¢ = (… x 
1, x 0, x 1…). Тогда вероятность P (xi) того, что дискретная случайная величина X ¢ примет значение xi, очевидно, будет равна вероятности того, что непрерывная случайная величина примет значение на интервале D x, лежащем около точки с координатой xi, т. е.
P (xi) = w (xi) D x. (A.26)
Подставляя (A26) в (A24) и переходя к пределу D x®, получим
, (A.27)
что совпадает с (A25).
Если некоторая случайная величина Y связана с X функциональной зависимостью y = f (x), то среднее значение случайной величины Y, очевидно, найдется по формуле
. (A.28)
К примеру, если y = x 2, то
. (A.29)
|
|