ТЕМА 3. Обратная матрица. Миноры и ранг матриц

1. Дайте определение обратной матрицы. Для каких матриц можно ввести понятие обратной матрицы? Сколько может существовать обратных матриц. Обратимы ли прямоугольные матрицы?

2. Какой порядок имеет невырожденная матрица, если она удовлетворяет условию .

3. Как изменится обратная матрица A ^–1, если в матрице A:

а) переставить i -ю и j -ю строки (столбцы);

б) i -ю строку (столбец) умножить на число k ¹ 0;

в) к i -й строке (столбцу) прибавить j -ю строку (столбец), умноженный на число k.

4. Что такое минор k-го порядка? Базисный минор? Сколько может существовать базисных миноров?

5. Что такое ранг матрицы? Опишите все матрицы нулевого ранга? первого ранга?

6. Какие операции называются линейными? Как складываются матрицы? Как матрица умножается на число?

ТЕМА 4. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

1. Запишите расширенный вид системы линейных уравнений, матричный вид СЛАУ. Какая матрица называется расширенной?

2. Дайте понятия совместной, несовместной системы линейных уравнений. Какое уравнение называется противоречивым, какое тривиальным?

3. Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.

4. Дайте определения определенной, неопределенной системы линейных уравнений. Какие системы называются эквивалентными (равносильными)?

5. Перечислите элементарные преобразования системы линейных уравнений.

6. Сформулируйте теорему Крамера и запишите формулы Крамера.

7. Дайте определения базисного (разрешенного) неизвестного. Какая система уравнений называется разрешенной? Что такое набор разрешенных неизвестных? Что такое свободное неизвестное?

8. Как найти общее решение, частные решения совместной системы линейных уравнений?

9. Опишите алгоритм нахождения общего решения системы линейных уравнений с помощью формул Крамера.

10. Опишите алгоритм нахождения общего решения системы линейных уравнений методом Гаусса.

11. Какие методы решения систем линейных уравнений Вы знаете? Всегда ли эти методы применимы к решению системы уравнений?