ТЕМА 1. Матрицы и действия над ними

Вопросы для самопроверки

1. Что такое матрица? Как обозначаются матрицы? Как обозначаются элементы матриц? Какие матрицы называются равными?

2. Какие матрицы называются нулевыми? Сколько существует нулевых матриц?

3. Какие операции называются линейными? Как складываются матрицы? Как матрица умножается на число?

4. Как можно умножить матрицу на матрицу?

5. Перечислите основные свойства операции умножения матриц.

6. Какие матрицы называются перестановочными?

7. Доказать, что если для матриц A и B оба произведения AB и BA определены, причём AB = BA, то матрицы A и B – квадратные и имеют одинаковый порядок.

8. Показать, что если матрицы A и B – квадратные матрицы одного и того же порядка, причём AB ¹ BA, то

а) ; б) .

9. Какие матрицы называются транспонированными?

10. Какие матрицы называются симметрическими?

11. Какие матрицы называются кососимметрическими?

12. Пусть A – произвольная квадратная матрица. Доказать, что матрицы и симметрические, а матрица кососимметрическая.

13. Какие матрицы можно возводить в степень?

14. Какие матрицы называются идемпотентными, а какие – инволютивными?

15. Какие матрицы называются нильпотентными? Что такое показатель нильпотентности?

16. Какие матрицы называются периодическими? Что такое показатель периодичности?

17. Как вводятся функции (многочлены) от матриц?