Билет 12. Аксиоматические теории. Аксиоматический подход к построению исчисления высказываний.

Аксиоматика является стандартной формой представления теоретического знания. В этом случае, законы, относящиеся к некоторой теоретической области, выражаются аксиомами, с помощью которых доказываются теоремы.

Под аксиомами раньше понимались некие самоочевидные, интуитивно верные положения. Однако в связи с появлением, например, нескольких наборов аксиом, которые формировали разные геометрии, это понимание было пересмотрено. Теперь понятие аксиома понимается как некоторое положение, которое по некоторым причинам принимается без основания.

Свое начало аксиоматические теории берут со времен Евклида (его геометрии): сначала даются определение, затем описываются различные свойства этих терминов и понятий (некоторые назывались аксиомами, некоторые – постулатами);
В современном понимание «теория» - термин применяемый в отношении к двум множествам высказываний, одно из которых есть истинное подмножество другого. Большее множество высказываний определяет предметную область теорию; Элементы меньшего множества высказываний – те высказывания теории, которые считаются в ней истинными или доказуемыми.
В нематематических науках высказывания этого рода представляют собой истинные высказывания о внешнем мире, и истинность их устанавливается в конечном счете на опыте. В аксиоматической же теории высказывании, принадлежащие к меньшему множеству называются доказуемыми высказываниями или теоремами; Это высказывания, выводимые чисто логическим путем из некоторых заранее выбранных и фиксированных высказываний, которые называются аксиомами. В аксиоматической теории нет места понятию истинности.

Введем понятие доказуемого высказывания:
Пусть Г – конечное множество высказываний какой-либо аксиом.теории. Тогда говорят, что предложение С выводимо из Г:
Г ˫ С
Формальные теории – аксиоматические теории. Формулы в такой теории представляют собой определенного рода строчки (конечные последовательности) символов.

Целью аксиоматизации теории вывода является формальная аксиоматическая теории. Формулировка, которой пользуемся мы, принадлежит Уайтхеду и Расселу (позже будет изменена П.Бернайсов).
Итак, первичные (формальные) символы исчисления таковы: ~, v, (), A, B, C, A1, B1, C1;
Символы, которые обозначаются буквами, называются высказывательными или пропозициональными буквами (они обозначат простые высказывания некоторой теории).
Формула будет определена следующим образом:

· Каждая высказывательная буква – формула

· Если А и В – формулы, то (A) v (B) – формула.

· Если А – формула, то ~(A) – формула.

· Формулами являются лишь строчки формальных символов.

Единственным правилом вывода является (все вместе J) modus ponens: A & A -> B имеют следствие В.

Точная форма определения выводимости получает в исчислении высказываний следующий вид: формула В выводима из принятых – в качестве посылок формул – А1, А2, А3…, что будет записано, как
А1, А2, А3… ˫ В

Вывод формулы В без использования посылок (пустого множества посылок) есть доказательство формулы В, а сама В – теорема (˫ В).

Алфавит и формулы в аксиоматическом пропозициональном исчислении полностью совпадают с алфавитом и понятием формулы, введенных для логики высказываний.

См. аксиомы на с. 138 – 139 (Бочаров, Маркин).

Доказательство – это непустая конечная линейно упорядоченная последовательность формул С1, С2, …, Сn, каждая из которых есть либо аксиома, либо получена из предыдущих по одному из правил выводы. Последняя формула – доказуемая формула или теорема. Согласно этому определению, любая аксиома является одновременно и теоремой.

Доказательство теорем в САР упрощается, если будет обосновано наличие в нем теоремы дедукции:

Если из множества формул Г и формулы А выводима формула В, то из множества формул Г выводима формула А -> В. Символически см. с. 142 (Бочаров, Маркин).

Это доказывается в первой метатеореме:

В исчислении САР справедлива теорема дедукции.

Билет 14. Язык первопорядковой логики предикатов. Индивидные, предикатные и функциональные константы. Экзистенциальная и универсальная квантификация. Онтологический критерий Куайна.

Классическая первопорядковая логика предикатов называется первопорядковой, потому что в данной теории разрешается связывать кванторами переменные единственного типа – предметные переменные, т.е. переменные, возможными значениями которых являются индивиды – объекты первого порядка.

> Логика предикатов – это логическая теория, язык которой позволяет анализировать высказывания и умозаключения с учетом внутренней структуры простых высказываний.

При анализе контекстов естественного языка в логике предикатов выделяют три основных типа нелогических терминов: имена, предметные функторы и предикаторы.

• Именем называется термин, обозначающий отдельный объект (индивид).
  Имена подразделяются на простые (не содержат никакой инфы об обозначаемых ими индивидах; Пр.: «Москва», «Аристотель») и сложные (указывают на какие-либо свойства или характеристики; При.: естественный спутник Земли, культурная столица России)
• Предметныефункторы – знаки так называемых предметных функций; Их аргументами и значениями являются индивиды. Предметные функции различаются по местности: они бывают одноместные, двухместные итд. (Пр.: арифметические операции над числами (4 – индивид 2); функция сопоставления каждому государству его столицы (Россия – Москва))
  Термины, с помощью которых в языке представляются предметные функции называются предментными функторами: +, -, итд.
  
  Предметные функторы играют в естественном языке определенную синтаксическую роль – с их помощью можно из одних выражений строить другие выражения языка
• Предикаторы - это то, что может предицироваться предметами (т.е. соотноситься с ними).
  Термины, представляющие свойства («красный», «способный изучать логику») – являются одноместными предикаторами. Многоместными называются термины, которые представляют отношения между предметами («быстрее», «выше», «больше»).
  
  Синтаксическая роль предикаторов заключена в следующем: сочленяя их с именами, можно получить высказывания и предикаторы меньшей местности.

Нельзя забывать о том, что в состав простых высказываний входят и логические термины: квантор общности и существования.

Итак, теперь все это была некая прелюдия. Переходим к заданию алфавита языка классической логики.

1. Индивидные константы – параметры собственных имен естественного языка.
   В качестве символов будем использовать буквы а, b, c, d, a1, b1, c1, d1…
2. Предикаторные константы – параметры предикатов естественного языка.
   Символы: P, Q, R, S, P1, Q1…;
   *так как существует одноместные, двуместные итд предикаторные константы, то рядом с каждым символом должна стоять n-ая степень. Но их иногда опускают.
3. Функциональные константы – параметры функторов естественного языка:
   f, g, h, f1, g1, h1…
   * и вновь: так как существуют одноместные, двуметсные – то степень можно написать, а можно опустить.
4. Пропозициональные связки. ­­­­­, &, ∨, ⊃
5. Кванторы - ∃, ∀

ОнтологическийкритерийКуайна:

Существовать – значит быть значение квантифицированной переменной. Так, в соответствии с критерием онтологической нейтральности, восходящим к работам Куайна 1950-х гг., логика не должна допускать существования каких-либо абстрактных сущностей.

Билет 15. Семантика первопорядковой логики предикатов: интерпретация индивидных и предикатных констант. Парадокс Рассела.

Первый этап. Необходимо задать класс допустимых интерпретаций нелогических символов языка: указать, объекты каких типов могут быть сопоставлены в качестве значений нелогическим символам различных категории.
Нелогические символы логики предикатов первого порядка можно разделить на две группы: константы (предметные, предметно-функциональные и предикаторные); они не могут связываться кванторами. Другая группа – индивидные переменные; их можно связывать кванторами, они выполняют функцию неопределенных местоимений.

При зафиксированных значениях констант – допускается варьирование значений предметных переменных.

Процедуре интерпретации нелогических символов языка логики предикатов предшествует выбор некоторого непустого множества U, которое называется областью интерпретации или универсумом рассмотрения.

Приписывание значений нелогическим константам языка может быть осуществлено с помощью особой семантической функции I, называемой интерпретационной функцией.

Функция I сопоставляет каждой нелогической константе некоторый объект, заданный на области интерпретации. Причем константам различных категорий должны сопоставляться объекты различных типов.

Интерпретация предметных констант – параметры естественного языка. Значениями имен являются отдельные предметы, индивиды; Предметным константам в качестве значения должны приписываться индивиды, которые содержаться в определенном множестве U.
Функция I сопоставляет каждой предметной константе k произвольный элемент множества U.

Интерпретация предикаторных констант. Предикаторные константы являются параметрами предикаторов естественного языка.
Одноместной предикаторной константе функция I сопоставляет произвольное множество элементов универсума U, т.е. значением одноместной предикаторной константы является некоторое подмножество множества U.

Парадокс Рассела

Существуют дескрипции двух видов: определенные (всегда обозначают конкретный единичный объект) и неопределенные (при переходе из одного контекста в другой один предмет может изменять свое значение). При таком условии исчисление предикатов становится нестандартным, с дескрипцией.

Дескрипции этих видов могут быть мнимыми именами, они ничего не обозначают в универсуме рассуждения. Например, выражение «тот единственный предмет, который является нынешним королем Франции» на классе ныне живущих людей является пустой определенной дескрипцией. Наличие мнимых (пустых) имен в языке приводит к тому, что в исчислении предикатов перестают действовать следующие правила вывода: Ɐ xA(x)/A(x/t) и A(x/t)/Ǝ xA(x),

так как, если термин t в этих правилах - мнимое дескриптивное имя, то тогда посылки правил могут быть истинными утверждениями, а заключения - ложными. Возникает вопрос, как должно строиться исчисление предикатов в случае введения в него дескриптивных терминов? На этот вопрос существует два классических ответа. Один из них был предложен Б. Расселом, а другой - Д. Гильбертом.

Ответ Б. Рассела состоит в следующем. Он расширяет класс термов исчисления предикатов дескриптивными термами, которые вводятся следующим определением:

Если А(х) - произвольная одноместная формула исчисления предикатов, то lxA(x) - терм (определенная дескрипция).

Согласно этому определению, среди термов вида lxA(x) в языке исчисления предикатов обязательно появятся необозначающие (мнимые) имена. Это произойдет в том случае, когда высказывательная форма А(х) либо вообще не удовлетворяется ни одним индивидом из универсума рассуждения, либо удовлетворяется сразу многими индивидами. Чтобы ликвидировать это негативное явление, Рассел предлагает элиминировать выражения с дескрипциями за счет принятия следующего определения.

[B](lα A(α)) =Df Ǝ α (A(α) & Ɐ α Ɐ β (A(α) & A((β) → α = β) & B(α)),

где [В] показывает область действия дескрипции.

Содержание этого определения таково: если объект, заданный определенной дескрипцией lα A(α), обладает свойством В, то это имеет место только тогда, когда данный объект существует - Ǝ α A(α), он единствен - Ɐ α Ɐ β (A(α) & А(β) → α = β) и он действительно обладает свойством В. Используя это определение, мы можем по формулам, содержащим определенные дескрипции, строить выражения, которые уже не будут содержать таких термов. (Бочаров, Маркин с. 222 – 226)

Билет 16. Принципы классической логики и основания их пересмотра в неклассических логических системах.

Наиболее существен статус двух принципов, лежащих в основе систем классической логики, - принципа двузначности (бивалентности) и принципа экстенсиональности (взаимозаменимости). Принцип двузначности (в сильной формулировке) применительно к высказываниям естественного языка гласит:

(1) Всякое высказывание имеет в точности одно из двух значений - значение «истина» или значение «ложь».

Применительно к правильно построенным формулам это утверждение может быть адаптировано следующим образом:

(1') Всякая формула при определенной интерпретации нелогических символов, входящих в ее состав, принимает ровно одно из двух значений - либо значение «истина», либо значение «ложь».

«Сильная» формулировка принципа двузначности, по существу, включает три различных, но дополняющих друг друга положения. Первое из них - принцип двузначности в «слабой формулировке» - очерчивает множество допустимых значений высказываний и говорит об отсутствии у последних каких-либо иных, кроме указанных, значений:

(1.1) Возможными значениями высказываний (формул) являются лишь абстрактные объекты «истина» и «ложь».

Второе положение - принцип всюду -определенности истинностной оценки - налагает запрет на ситуации, при которых высказывание вообще не имеет значения (т. е. оно ни истинно, ни ложно) и отвергает тем самым возможность так называемых «провалов значений» высказываний:

(1.2) Высказывание (формула при некоторой интерпретации ее нелогических символов) принимает, по крайней мере, одно значение из множества {«истина», «ложь»}.

Наконец, третье положение - принцип запрета пресыщенных истинностных оценок - указывает на принципиальную недопустимость ситуации, при которой высказывание имеет сразу несколько значений (т. е. оно одновременно и истинно, и ложно):

(1.2) Высказывание (формула при некоторой интерпретации ее нелогических символов) принимает не более одного значения из множества {«истина», «ложь»}.

При этом предполагается, что истинностная оценка высказыванию дается относительно конкретного положения дел: определенного места, времени, в определенном аспекте и т. п., что в рамках логической теории для произвольной формулы ее языка как раз и задается посредством выбора конкретной интерпретации нелогических символов.

Другим важнейшим принципом, лежащим в основе систем классической логики, является принцип экстенсиональности:

(2) Значение сложного выражения зависит только от значений составляющих его выражений.

Данный принцип подчеркивает, что для установления значения выражения языка необходимо и достаточно знать именно значения его составных частей, т. е. те сущности, которые репрезентируются знаками; смыслы же знаков или иные синтаксические, семантические и прагматические их характеристики могут в данном случае вовсе не приниматься во внимание. Зачастую указанный принцип формулируют в виде правила взаимозаменимости равнозначных выражений.

Тем не менее его действие проявляется в наличии в указанных системах логических законов замены равного равным и замены эквивалентного эквивалентным.

Логический закон замены равного равным имеет место в кванторных классических системах с равенством и является конкретизацией правила взаимозаменимости применительно к термам:

t1 = t2→ (A(t1)≡ A(t2)),

где t1 и t2 - замкнутые термы (аналоги имен естественного языка), a A(t2) -

формула, получающаяся в результате замены некоторого числа вхождений терма t1 в формулу A(t1) на терм t2.

Закон замены эквивалентного эквивалентным, справедливый во всех классических логических теориях, конкретизирует правило взаимозаменимостиприменительно к формулам:

(А ≡ В)→ (Сᴀ ≡ Св),

где А и В - замкнутые формулы (аналоги предложений естественного языка), Сᴀ - формула с выделенным вхождением А в качестве подформулы, а Св - результат замены в СА выделенного вхождения подформулы А на В.

Еще одной отличительной чертой классической логики является использование при интерпретации формул так называемой классической («корреспондентной») трактовки истины, которая восходит к трудам Аристотеля и может быть выражена следующим образом:

(3) Высказывание истинно, если и только если то, что в нем утверждается, имеет место в действительности.

Согласно приведенному определению, истина понимается как отношение соответствия наших утверждений, выраженных в языке, описываемой действительности. Причем это отношение носит объективный характер, не зависит от воли и познавательных способностей человека. Иначе говоря, любое высказывание, в соответствии с классической трактовкой, само по себе либо соответствует действительности (т. е. истинно), либо не соответствует ей (т. е. ложно), независимо от того, имеются ли у нас какие-то знания на этот счет, владеем ли мы методами решения данной проблемы и существует ли, вообще, принципиальная возможность такого решения.

Про истину, трактуемую подобным образом, говорят, что это - «истина в себе». Например, высказывание «Древние карфагеняне знали теорему Пифагора» является само по себе истинным или ложным, несмотря на отсутствие у нас сведений, подтверждающих либо опровергающих данный тезис.

Другая важнейшая особенность большинства систем классической логики (а именно, кванторных логик, логик предикатов) состоит в том, что они представляют собой экзистенциальные логические теории - теории, в которых принимаются предпосылки о существовании объектов вне языка.

К числу предпосылок экзистенциального характера относится, во-первых, требование непустоты предметной области, предъявляемое при построении семантики классической логики предикатов:

(4.1) Область интерпретации (универсум рассмотрения) содержит, по крайней мере, один объект.

Следствием принятия данного принципа является факт наличия в классических системах законов, утверждающих существование объектов в универсуме, например закона Ǝ xP(x) v Ǝ xP(x).

Во-вторых, классическая логика экзистенциальна в том смысле, что именные конструкции ее языка (т. е. термы) не могут быть пустыми (мнимыми) знаками относительно выбранного универсума, не могут репрезентировать объекты, отсутствующие в предметной области теории.

(4.2) Значениями термов являются элементы области интерпретации.

Иными словами, в качестве денотатов термов в семантике классической логики выступают те объекты, которые существуют в исходном универсуме. Более того, утверждения о непустоте термов, о существовании их денотатов являются законами в классических системах с равенством: Ǝ х(х = t), где t - произвольный терм.

Принципы, на которых базируется классическая логика, предполагают принятие достаточно сильных абстракций, устанавливают исследователю весьма жесткие рамки в процессе осуществления логических операций.

Кроме того, лежащие в основании классических систем предпосылки не носят исключительно логического характера, но влияют на принятие в логических теориях тех или иных законов.

Подразумеваемая в классической логике концепция «истины в себе» является очень мощной абстракцией. К тому же, классическая трактовка истины далеко не единственная.

Ее пересмотр может состоять, например, в том, чтобы перестать рассматривать истину как нечто независимое от познавательных способностей человека, т. е. субъекта познания. Истинностным оценкам может быть придан, например, процедурный характер, т. е. с истинностью и ложностью можно связать некий субъективный процесс конструктивного порождения данных характеристик. С этой точки зрения, некоторое высказывание А считается истинным, когда имеются эффективные средства доказательства (обоснования) А, и ложным, когда имеются эффективные средства опровержения А. Подобная конструктивизация понятия истинного и ложного высказываний приводит к изменению классов логических законов и способов правильных рассуждений, т. е. к отказу от классической логики.

К аналогичным последствиям приводит и устранение лежащих в основе кванторных систем классической логики экзистенциальных предпосылок. Отказ от допущения непустоты универсума рассмотрения может быть мотивирован желанием сделать более универсальной сферу применения дедуктивных процедур, распространить ее на предметные области с произвольным числом элементов, свести до минимума влияние онтологических факторов на логику. Отказ от требования непустоты единичных терминов позволяет осуществлять анализ рассуждений, в состав которых входят высказывания о несуществующих объектах. Такого рода высказывания нередки в практике научного познания, ведь даже для того, чтобы утверждать, что некий объект (например, флогистон, теплород, элемент пустого множества) не существует, необходимо употребить его имя, «пустой» термин, что непозволительно делать с точки зрения классической логики.

Билет 17.Основные дедуктивные системы модальной логики. Семантика Крипке.

Системы модальной логики:

1. Алетическая модальность (эти модальности - «необходимо», «возможно», «случайно» и др. - характеризуют положения дел с точки зрения их соответствия некоторому множеству законов),

2. Деонтические логики (деонтическиемодальности - «обязательно», «разрешено», «запрещено» и др. - оценивают действия, поступки с позиции некоторого кодекса норм),

3. Логики оценок или логики аксиологических модальностей (эти модальности - «хорошо», «плохо», «прекрасно», «безобразно» и т. п. - характеризуют ситуации относительно некоторой системы ценностей),

4. Временные или темпоральные логики (модальности времени - «было», «будет», «всегда было», «всегда будет», «прежде чем», «после того, как» и др. - соотносят события с временным рядом),

5. Эпистемические логики (эпистемические модальности - «субъект s знает, что», «субъект s считает, что» и т. п. - характеризуют ситуации с точки зрения мира знаний, мнений, верований некоторого субъекта)

Важнейшим вкладом Крипке в решение проблемы построения адекватной

семантики для модальных исчислений было введение в нее особого бинарного

Отношения R, связывающего возможные миры между собой. Это отношение сам Крипке называл «отношением достижимости» одного мира из другого; для его обозначения используется также термин «отношение альтернативности». Метаязыковое выражение R(m1, m2)означает, что из мира m1 достижим мир тm2, или что мирm2 является альтернативой миру m1. В семантике для системы Т постулируется рефлексивность отношения достижимости: каждый возможный мир достижим сам из себя - Ɐ mR(m, m).

Возможными значениями пропозициональных переменных, как и в классической логике, являются и («истина») и л («ложь»). Однако оценка переменных в семантике модальной логики релятивизируется относительно возможных миров: пропозициональные переменные оцениваются как истинные или ложные не сами по себе, а в каком-то возможном мире, причем в различных мирах одна и та же переменная может принять разные значения. Такой подход к оценке формул (причем не только элементарных, но и сложных) позволяет утверждать, что в данной семантике реализована философская идея конкретности истины. Техническое оформление этой идеи осуществляется следующим образом: интерпретирующая функция I (функция приписывания значений нелогическим символам алфавита) определяется как двухместная, она сопоставляет значения из множества {и, л} парам, состоящим из пропозициональной переменной и возможного мира. Выражение I(р, m) = и, например, означает, что переменная р в возможном мире m принимает значение «истина».

Множество возможных миров М, выделенный действительный мир га0, отношение достижимости R и интерпретирующая функция I составляют модельную структуру.

(Бочаров, с. 319-322).

Билет 18. Общая схема взаимоотношения между аксиомами и ограничениями на отношение достижимости. (Результат Скотта и Леммона).

Наиболее распространенный способ оформления систем временной логики связан со «стратифицированной» концепцией Э. Дж. Леммона.

«Минимальная система» включает классическое пропозициональное исчисление, правила присвоения всегда-будущности и всегда-прошлости (аналоги правила введения квантора общности в логике предикатов) и аксиомы однородности времени, в которых отражены связи между предположениями об однородности времени и истинностными значениями высказываний.

Расширения получаются путем присоединения к минимальной системе постулатов транзитивности (нетранзитивности); конечности (бесконечности); постулатов для выражения кругового характера времени; плотности, непрерывности или дискретности; линейности или ветвления и др.

Разработку проблем семантики временной логики начал еще Прайор. Благодаря работам Э. Дж. Леммона, Г. X. фон Вригта, С.Крипке, Д. Габбая, В.А.Смирнова, Дж, Берджееса и др. эта область приобрела современный вид. Семантика связывает язык временной логики со свойствами временных структур посредством определения истинности.

Билет 19.Временная логика: логический статус высказываний о будущих случайных событиях и фатализм.

Временные высказывания содержат временной параметр или временную характеристику. Высказывания временными параметрами утверждают наличие или отсутствие ситуации в конкретный момент времени или временной интервал.

Временная характеристика – это оценка отдельно взятой ситуации или нескольких ситуаций относительно временного ряда. Временной ряд может принадлежать к прошлому, настоящему и будущему.

«Проблема будущей случайности» начинается с рассмотрения 9-ой главы трактата Аристотеля «Об истолковании», где впервые сформулирован следующий фаталистический аргумент.

Предположил, сейчас истинно, что завтра будет морское сражение. Из этого следует, что не может быть, чтобы завтра не будет лорского сражения, иначе не было бы истинно, что морское сражение завтра произойдет. Следовательно, завтрашнее морское сражение является необходимым.
Получаем, что все, что происходит, происходит по необходимости и нет ни случайных событий, ни свободы воли.

Суть аргумента заключается в том, что истинность (ложность) высказывания о каком-то событии влечет необходимость (невозможность) этого события. Т.е. устанавливается взаимная обусловленность истинных (ложных) высказываний с положением дел, описываемых этими высказываниями, и эта обусловленность является логической, а не причинной.

Считая эти аргументы логически правильными, Аристотель указывает на то, что фаталистическое следствие этих аргументов (необходимость всего происходящего) приходит в противоречие с объективной случайностью.

Для того, чтобы разобраться в этом, рассмотрим исходные логические принципы (законы), лежащие в основе обоих фаталистических аргументов.

Таким общим принципом является логический принцип бивалентности (двузначности), который устанавливает, что каждое высказывание является истинным.

В свою очередь этот принцип надо отличать от принципа исключенного третьего (tertiun поп datur), который устанавливает, что из двух противоречащих друг другу высказываний только одно истинно. Формально это выглядит так:

(1) Т(р) v F(p),

(2) T(p) v Т(~р),

одна из основных интерпретаций аристотелевского решения проблемы будущей случайности состоит в том, что (1) и (3) не эквивалентны, т. е. Аристотель ограничивает действие принципа бивалентности относительно высказываний о будущих случайных событиях, но в то же самое время принимает закон исключенного третьего (3). Таким образом, в силу ограничения (1), оба фаталистических аргумента разрушаются.