Необходимое есть то, что всегда имело место, имеет место сейчас и всегда будет иметь место.

Df.2

◊ A ≡ df PA v A v FA

□ A ≡ df HA& A & GA

Данные трактовки связаны с именем Аристотеля из-за следующего принципа: никакая подлинная возможность не может остаться нереализованной во времени, то есть всякая подлинная возможность реализуется в прошлом, настоящем или будущем.

Термин «возможно» становится равносильным «когда-то» и становится сильной, термин «необходимости» становится равносильным «всегда» и становится слабым.

Недостатки данных модальностей устраняются за счет определений российского логика В. Смирнова:

Df.3

◊ A ≡ df PFA

□ A ≡ df HGA

- возможное это то, что могло бы быть.

- необходимое – то, относительно чего в каждый момент прошлого верно сказать, что оно всегда будет иметь место.

Определения необходимости и возможности через временные модальности дают толкование нормальных систем аналитической модальности логики. В результате полученного смешанного алетически-временного исчисления выделяют алетический фрагмент, который содержит связки ◊ и □. Система формализует понятия необходимости и возможного, выраженные соответствующими их определениями через временные модальности.

Билет 21. Деонтическая логика: парадоксы, связь деонтической логики с алетической (редукция Андерсона).

Деонтические модальности («обязательно», «запрещено», «разрешено» и др.) квалифицируют ситуации с точки зрения некоторого кодекса норм - правовых (юридических) или моральных (этических). В деонтических высказываниях дается оценка человеческим действиям на предмет их соответствия этим нормам. Так, модальность «обязательно» указывает на то, что нормативный кодекс требует совершения некоторого действия, а модальность «запрещено» - на то, что кодекс требует воздержаться от его совершения. Модальность «разрешено» означает, что кодекс допускает совершение действия. Последнее утверждение может пониматься двояко: или кодекс содержит норму, прямо позволяющую (хотя и не обязательно предписывающую) совершать это действие, или в нем отсутствует запрет на его совершение. Во втором случае термин «разрешено» эквивалентен по смыслу термину «не запрещено».

Структура нормы и отношения, устанавливаемые между её элементами, выступают ключевыми аспектами моделирования норм средствами логической теории. Выделяют четыре структурных элемента нормы:

1. характер нормы — обязывает, разрешает или запрещает;

2. содержание нормы — действие, которое должно быть, может или не должно быть выполнено;

3. условия приложения нормы;

4. агент или субъект нормы — лицо или группа лиц, которым адресована норма.

Те системы, в которых учитывается только содержание нормы и её характер, называются абсолютными (или монадическими). В них норма представляется в виде: «Обязательно (разрешено, запрещено) A», где A — высказывание, которое описывает состояние дел, реализуемое предписываемым действием. Деонтические системы, в которых учитываются также условия приложения нормы, называются относительными (или диадическими). В них норма принимает вид: «Обязательно (разрешено, запрещено) A в условиях B», где A и B — высказывания, описывающие какие-либо состояния. Ни тот, ни другой вид деонтической логики не учитывают субъекта — не описывают, кто обязан или может выполнить действие. Отсюда — известные парадоксы деонтической логики.

В традиционной схеме деонтической логики имеется пять возможных префиксных дополнений к высказыванию p:

· обязательно p (OB p);

· разрешено p (PE p);

· запрещено p (IM p);

· необязательно p (GR p);

· необязательно (факультативно) p; (OP p).

Если взять за основу OB, то остальные утверждения могут быть выражены следующими формулами:

· PE p = ^df OB p;

· IM p = ^df OB p;

· GR p = ^df OB p;

· OP p = ^df (OB p) ∧ (OB p).

Таким образом утверждается, что разрешено p тогда и только тогда, когда отрицание p не обязательно; запрещено, когда отрицание обязательно; факультативно, когда ни p, ни отрицание p не являются обязательными (то есть необязательно и разрешено). Понятия «обязательно», «разрешено» и «запрещено» обычно считаются взаимно определёнными.

В стандартной деонтической логике используется оператор O. Выражение Op читается как «обязательно p». Можно читать также «должно p», «необходимо p». При этом p имеет смысл утверждения о каком-либо действии, о выполнении чего-либо. Через этот основной оператор могут быть определены дополнительные операторы:

· P p = O p — читается как «разрешено p»;

· F p = O p — читается как «запрещено p»;

· W p = O p — читается как «необязательно p» или «отказ от требования, права выполнить действие p».

В деонтической логике имеют место следующие основные законы:

· закон деонтической непротиворечивости (выполнение действия и воздержание от него не могут быть вместе обязательными);

· закон деонтической полноты (всякое действие или обязательно, или безразлично, или запрещено);

· логические следствия обязательного — обязательны;

· если действие ведёт к запрещённому следствию, то само действие запрещено.

Если деонтическая логика строится как расширение логической теории действия, различаются действие и [сознательное] воздержание от действия [не равносильное простой бездеятельности]. Если в её основу положена логика взаимодействия, проводится различие между типами деятельности, связывающей двух субъектов (предоставление какого-либо объекта, его навязывание, и так далее).

Другой способ построения деонтических систем был предложен А. Андерсоном в 1956 году. Андерсон считал, что изучение нормативных понятий весьма перспективно, если рассматривать их в контексте, с одной стороны, релевантной логики (см.: Логика релевантная), а с другой, — в контексте нормативных систем и кодексов, например, правовых или моральных. Опираясь на эти соображения, Андерсон ввёл определения основных деонтических понятий долженствования, разрешения и запрещения при помощи константы, обозначающей угрозу или санкцию, наподобие того, как это делается в реальных нормативных кодексах. В результате он, а в 1957 году и С. Кангер, добавляя такого рода определения к уже известным системам алетических модальностей, получили новые системы деонтических логик, которые состояли из взятых за основу модальных систем с деонтическими фрагментами. В деонтические фрагменты входили основные определения и некоторые аксиомы с константой S. Особенностью подхода Андерсона было то, что он использовал негативную константу — санкцию; Кангер предложил позитивную санкцию Q, понимаемую как отрицание S. Пропозициональную константу Q можно также интерпретировать как «надлежащее поведение», или некий нормативный кодекс (конъюнкцию моральных установлений или юридических норм).

Таким образом были получены бимодальные деонтические системы, содержащие алетические и деонтические модальные операторы. В 1963 году Т. Смайли доказал, что некоторые из сильно нормальных деонтических систем вригтовского типа равнообъёмныдеонтическим фрагментам андерсоновских смешанных алетических-деонтических систем. Работы Андерсона, Кангера, Смайли и ряда других логиков того времени явились формальным выражением линии Бентама-Малли, несмотря на то, что в системах Антерсона-Кангера были использованы алетические модальные операторы.

Билет 22. Эпистемическая логика: проблема Гетье и парадокс Фитча.

Эпистемические модальности квалифицируют ситуации с позиций некоторой познавательной системы. В качестве последней может, в частности, выступать какая-то интерсубъективная совокупность знаний, например научная теория. В этом случае модальная оценка осуществляется с помощью таких терминов, как «доказано», «опровергнуто», «неразрешимо».

Контекст «Доказано, что А» означает, что А является законом данной теории, что средствами последней обосновывается истинность высказывания А; контекст «Опровергнуто, что А» означает, что в рамках теории обосновывается ложность высказывания А; смысл контекста «Неразрешимо А» состоит в указании на отсутствие в теории эффективной процедуры, позволяющей ответить на вопрос о том, каким - истинным или ложным - является, с точки зрения данной теории, высказывание А.

Другая разновидность эпистемических модальностей характеризуется тем, что они соотносят ситуации с миром знаний, мнений, убеждений и верований некоторого познающего субъекта. Подобные модальности - «субъект а знает, что», «а полагает, что», «а сомневается в том, что», «а уверен в том, что», «а убежден в том, что», «а верит, что», и т. п. - имеют весьма тонкие смысловые нюансы, отличающие их друг от друга.

Эпистемические модальности могут выражать и степень уверенности субъекта в наличии положения дел. Так, выражение «субъект а сомневается в том, что А» означает следующее: «субъект а полагает, что А, но допускает, что А не имеет места», в то время как выражение «субъект а уверен в том, что А» - «субъект а полагает, что А, и не допускает, что А не имеет места».

Модальности рассматриваемого типа могут также указывать на основания принятия субъектом тех или иных утверждений. Например, высказывание «Коперник был убежден в том, что Земля вращается вокруг Солнца» выражает мысль, что принятие Коперником тезиса о гелиоцентризме основывалось на ряде рациональных аргументов, позволяющих строго обосновать данный тезис. В то же время высказывание «Г. Уэллс верил, что на Марсе есть жизнь» указывает, что для принятия тезиса о наличии жизни на этой планете у Г. Уэллса не было достаточных рациональных доводов, и основание его мнения лежит, по существу, в области веры.

Проблема Гетье

Традиционное определение знания выделяет в качестве его необходимых и достаточных условий: (1) наличие ϲ ᴏ ᴏ ᴛ ʙ ᴇ ᴛ ϲ ᴛ ʙ ующего убеждения, (2) истинность ϶ ᴛ ᴏ го убеждения и (3) его обоснованность.

Анализ Гетье опирается на следующие положения.

• В первую очередь, обоснованное убеждение – каким бы надежным не казалось его обоснование – в некᴏ ᴛ ᴏ ᴩ ых случаях вполне может оказаться ложным (см. выше пример с геоцентрической моделью Птолемея).
• Во-вторых, если убеждение А будет обоснованным и из А логически следует убеждение В, то В также будет обоснованным.

Общая схема контрпримеров, кᴏ ᴛ ᴏ ᴩ ые приводит Гетье, такова.

Предположим, некто, например Х обоснованно убежден в том, что имеет место А, но при ϶ ᴛ ᴏ м А все же будет ложным (хотя Х уверен в обратном). Представим себе, что Х логически корректным образом выводит из ϲ ʙ ᴏ его убеждения А новое убеждение В. Ясно, что Х будет убежден в том, что имеет место В и при ϶ ᴛ ᴏ м обоснованность ϶ ᴛ ᴏ го нового убеждения будет ничуть не ниже, чем обоснованность убеждения А (что обеспечивается процедурой логического вывода). Отметим, что теперь предположим, что высказывание В, в силу некᴏ ᴛ ᴏ ᴩ ого случайного стечения обстоятельств, оказывается истинным.

Тогда имеем: Х обоснованно убежден, что В и В будет истинным. То есть, выполняются все три условия традиционного определения знания. Важно заметить, что однако, при всем этом оказывается, что в ϶ ᴛ ᴏ м случае мы далеко не всегда можем утверждать, что Х знает, что В!

Парадокс Фитча

ОБОЗНАЧЕНИЯ:
" → " - импликация (" если то")
" & " - конъюнкция (" и")
" ◊ " - оператор " возможно, что"
" К" - оператор " известно, что"

АКСИОМЫ:
1) КА → А (принцип объективности знания)
[если известно, что факт имеет место, то он имеет место]
2) К(А& В) → КА & КВ (принцип распределенности знания относительно конъюнкции)
[если известны два факта вместе, то они известны и по отдельности]
3) А → ◊ КА (принцип познаваемости мира)
[если факт имеет место, то он в принципе может быть познан]

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

4) Допустим, что имеет место какой-то факт, пока еще не известный:
p & ~Кр
5) В силу принципа познаваемости (3), такую ситуацию можно познать:
◊ К(p & ~Кр)
6) По аксиоме распределенности (2), можно познать оба конъюнкта и по отдельности:
◊ (Кp& К~Кр)
7) По аксиоме объективности (1), если известно, что неизвестно р, значит не известно р: К~Кр → ~Кр, т.е. имеем:
◊ (Кp& ~Кр)
Противоречие!
8) Значит, наше допущение (4) было неверным, то есть непознанных фактов не существует.

ВЫВОД: ВСЕ УЖЕ ПОЗНАНО!

Билет 23. Эпистемическая логика: базовые операторы и их семантика.

Эпистемическая логика является направлением модальной логике; Ее предмет – изучение понятия знания; здесь хорошо подойдет пример с задачей о грязных детях или примере с картами (см. разобранные задачи); Метазнание – знание о знании. Оно тоже входит в эпистемическую логику.

Итак, мир в котором находятся агенты имеет определенные свойства. «Трава зелена» - свойство нашего мира.

Для обозначения различных свойств различных миров используются пропозициональные буквы:
р1, р2, р3, р4…

Для каждого агента вводится определенный знак – K i, где i – некий агент;
Таким образом, запись Kiȹ означает, что некто i знает, что ȹ;
Пошли дальше: пусть есть некое множество G {1, 2, 3, …} агентов. Для них также вводятся специальные символы:
Egȹ = Все агенты из G знают, что ȹ

Сgȹ = ȹ - общее знание агентов из G [т.е. 1-ый агент знает нечто, 2-ый агент знает, что первый знает, итд итп]

Dgȹ = ȹ - дистрибутивное знание агентов: т.е. каждый что-то знает, но конечный итог будет известен лишь при опросе всех.

Kiȹ = агент знает, что ф
К(с крышечкой)iф = агент допускает, что ф

Логические связки употребляются все те же: ƛ (конъюнкция), V (дизъюнкция), (не);

Перейдем к семантике.

Агенты – как правило - не знают реально состояния мира, то есть состояния в котором они РЕАЛЬНО находятся.
Например, агент а не различает Р или неР; Вспомните задачу с грязными детьми: Аня, видя перед собой грязного и чистого мальчика – сначала не различает, какая она – грязная или чистая.

Это называется семантикой / структурой Крипке (круги, стрелочки, и внутри них буковки/цифорки).
M = (A, W, {∼ i}i∈ A, V)

24. Эпистемическая логика: виды группового знания.

«Все знают»:

Е_{Gf =} Kif, e принадлежит G

E²_{{a; b}}f = E_{ab}E_{ab}f = это значит, что все члены группы {a, b} знают, что все члены группы знают f. = Kaf & Kbf & KaKbf & KbKaf

«Общее знание» / Common knowledge

C_Gf= f & E_Gf & E²_Gf & …. = объект f имеет быть в реальности; все члены группы G (которых может быть бесконечное кол-во), знаю, что f; и все знают, что все знают....все знают, что все знают….итд. Это какие-то общие знания, например, все знают, что снег – белый. (условно)

«Дистрибутивное знание»

K_af & K_{b(f-> x)}

D {a, b} x = при опросе всех участников а и b будет известно х

Определение форм группового знания:

M, w_i = Egf e.т.е. для любого w<sup>`</sup> (w<sub>i</sub> R Egw` -> M, w`= f) – это справделиво для Е, С, D – операторов.

Некоторые свойства:

Иерархия группового знания:

Билет 25. Доксатическая логика: операторы убеждения и условного убеждения.

· Метазнание – знание о знании.

· Если эпистемическая логика – это логика знания (и метазнания), то доксатическая логика – логика мнения (и метамнения, т. е. мнения о мнении).

Основные понятия:

Некоторые свойства:

Модель:

Понятия:

Определения:

Убеждение

Условное убеждение

Операторы знания через операторов мнения:

Новые операторы:

26. Динамическая эпистемическая логика: операторы информационного обновления.

Жесткое обновление.

public announcement:

Например у нас есть несколько миров:
1. q, ~p
2. ~q, ~p
3. ~q, p
4. q, p
Предположим, что
! f [~q]
Тогда убираем все миры, где q, оставляя только где неq, т.е.: 2 и 3.

Некоторые свойства:

Мягкое обновление:

• Консервативное обновление:
  В консервативном обновление нас интересует только максимально достигаемые миры.

Например, нам говорят, что [p]

Если это мягкое обновление, то мы находим тот максимальный мир, где у нас «р». В данном случае, это 3 мир. И затем мы ставим его на последнее место. В данном случае: меняя местами с 4 миром. Получается так:

• Радикальное обновление:

В радикальном обновление нас интересуют все миры, где – например – есть «р». И мы должны их все ставить выше тех, где «неР».

Например, нам говорят, что «р».

Тогда мы находим все миры, где у нас «р» и в той же последовательности ставим их вперед, оставляя миры, где «неР» сзади: