Глава 4. Любовь к математике – контрабандой!

Этим и занимаемся.

Я, конечно, привожу в пример свою родную математику. Но, думаю, и химик, и физик, и биолог, и словесник с историком увидят здесь свое, знакомое.

Студент знает не всю таблицу умножения, складывать может, вычесть из десяти двадцать - не может. Учится на экономическом отделении. Есть ли смысл оставаться там учиться? Этого хотят родители. Что делать?

Студент первого курса долго умножал один на один и в итоге получал ноль. Я спросила, в каком же институте он учится? Оказалось – в авиационно-технологическом.

Однажды я попросила коллег ответить на вопрос о том, какие темы ученики выпускных классов считают наиболее сложными. В каких темах у них больше всего пробелов? Результаты меня удивили.

Перечисляю темы по убывающей сложности:

тригонометрия, стереометрия, задачи с параметрами, планиметрия, текстовые задачи (те самые задачи на проценты, движение и работу, о которых автор бестселлера «Математика абитуриенту» В.Н. Ткачук сказал, что для их решения вообще не нужно математического мышления – достаточно здравого смысла на уровне торговли на базаре). На шестом месте – дроби (!). На седьмом – логарифмы, на восьмом – устный счет (!). И только на десятом месте по сложности оказались основы математического анализа – производные и интегралы.

Так почему же дроби оказались сложнее интегралов? Ведь для человека, который освоил нормально весь курс школьной математики, последовательность сложных тем должна быть совсем другой. Принципиально другой. И то, что мы наблюдаем на эксперименте, — нуждается в нетривиальном объяснении.

В школьной математике (на мой субъективный репетиторский взгляд), самое сложное – это ее кошмарная занудность. Пятикласснику – решить двадцать «примеров» на перемножение трехзначных чисел. И какие там «школьные годы чудесные…» - скорей бы все это кончилось! Школьная математика – марафон на выживание: у кого к первому курсу сохранится способность логически мыслить или интуитивно чувствовать решения, тому уже многое в жизни нипочем. А трудные темы - те, на которых больше всего народу ломается. Кто-то скис на теме «дроби» — и для него будут трудными дроби. Кто-то – сломался на устном счете, в первом или втором классе. А кому-то повезло больше, он на тригонометрии ушел в отключку – и поэтому тригонометрия лидирует по непонятности. Остается предположить, что до математического анализа, до производных и интегралов мозги доживают только у единиц.

Я чаще всего замечал два рубежа возникновение нелюбви и непонимания. Первый – седьмой-восьмой классы, когда на ученика обрушиваются: а) алгебра с ее формализмом тождественных преобразований никому не нужных уродливых буквенных выражений и б) геометрия в принятом у нас аксиоматическом изложении, логику которого могут постичь лишь очень одаренные дети. В результате школьники, как роботы, решают алгебраические примеры и зубрят наизусть доказательства геометрических теорем, то есть занимаются бессмысленной работой, вызывающей только раздражение. Второй рубеж – десятый класс, когда резко усложняется алгебра и начинается (снова с этих проклятых аксиом!) стереометрия. То и дело приходилось слышать: «В девятом классе я еще что-то понимал(а), но сейчас...» Зачастую катализатором становится приход новой учительницы, которая начинает игру по своим правилам, и ребенок на какой-то момент выключается. А включиться обратно уже не удается.

Психологические особенности? Мне лично труднее всего работать с людьми неэмоциональными. У которых в запасе одна-две ноты, а лицо ничего не выражает. Таких, увы, много. И виню я в этом, среди прочего, нашу дебилизующую школьную программу по математике. Анна, как я ее ненавижу, Вы бы знали...

Игорь Вячеславович Яковлев, репетитор по математике и физике.

«У меня не получается. У меня нет способностей к математике. Я гуманитарий», - эти оправдания каждый репетитор слышит неоднократно. Как и слова родителей о нежелании учиться и переходном возрасте. Но все это – поверхность, внешние симптомы. А что в глубине, из чего вырастает такая безнадежность, с чем все-таки репетитору приходится работать? Ну что же, попробуем разложить по пунктам.

Пункт первый - недостаток элементарных математических навыков. Большинство учеников, приходящих ко мне в одиннадцатом классе, умножают сто на двадцать восемь – в столбик. Им не объяснили, что можно сделать по-другому. А уж деление на сто вызывает почти непреодолимые сложности.

Редкий ученик, увидев квадратное уравнение

30 х² + 30 х - 180 = 0,

догадается поделить обе части на 30. Так и будут считать дискриминант и корни, и скажут: дискриминант слишком большой, не вычисляется.

Не страшно, если ученик не может устно умножить 59 на 3. И не страшно даже, что он сделает ошибку при вычислении в столбик. Хуже, если, вычислив в столбик и получив в ответе четное число, он не замечает своей ошибки.

О, столбик! Столбик этот (как догма, как единственный способ вычисления) – отдельная песня, одна из худших в школьной математике. Если ваш ученик отвернулся, скукожился, закрылся от вас локтем и что-то долго делает в уголке листа, мелким почерком, многократно зачеркивая, - будьте уверены, он считает в столбик. При этом у него предельно серьезное выражение лица.

И ведь все это – и неумение чувствовать числа, и манера поведения – откуда-то из младшей и средней школы тянется.

И поэтому я часто спрашиваю: «А как это сделать проще?» Как обойтись без столбика и посчитать быстрее? Например, возвести 31 в квадрат, пользуясь формулой сокращенного умножения. Должна же быть от этих формул хоть какая-то польза.

Второе, с чем каждый репетитор-математик неминуемо сталкивается – ученик не понимает сути математических действий.

Действий-то этих не так много – сложение, умножение, вычитание, деление. А еще – степени. И функции. Но редкий ученик знает об этом, а потому придумывает свои, полуфантастические: «убрать икс», «избавиться от корня» (как от нечисти такой, которой в приличном уравнении не место), и, конечно, любимое – «отбросить логарифмы». Да, вот так и отбросить, как копыта.

Я называю это магическим отношением к математике. Для многих школьников математика – это иррациональное нечто, которое умом не понять, а можно только выучить ряд заклинаний и шаблонных действий. Да, ученик пробовал понять. Но не получилось. И потому – он выработал более комфортные для себя стратегии. Он поверил в формулы, как молодой дикарь – в амулеты. Он впадает в панику, если листочек со спасительными «формулами» забыт или конфискован. «Неизвестно, откуда они появились, но без них нельзя». А мы еще удивляемся – откуда у людей с высшим образованием вера в гороскопы и приметы?

А когда число 2, 3 выпускник упорно называет «две третьих»? 0, 5 – «ноль пятых»? Когда пишет, что х = 121 = 11 и объясняет, что, мол, надо было корень извлечь, дык я и извлек? И мне приходится рассказывать, что знак равенства ставится только между равными величинами, и 11 никак не равно 121, вот представь, будешь ты получать зарплату в 11 тысяч рублей или в 121 тысячу, есть же разница?

А еще я люблю гамбургер. Так я называю многоэтажные дроби. Я прошу ученика (а работаю я с выпускниками) поделить три четверти на одну восьмую, и – вот оно, родное!

3

4

1

И тогда я радуюсь, рисую в тетради у ученика Биг Мак (из Макдональдса, с котлетой и соусом), и рассказываю, что дробная черта и вот такой: в виде двоеточия, знак деления - это одно и то же! И он смотрит на меня такими глазами, что видно – никто ему раньше этого не говорил.

Третье явление я назову «методикой размножения ошибок». Я подозреваю, что это именно методика. То есть ей в школе обучают специально. Например, учат сокращать дроби – и показывают, что числитель и знаменатель надо зачеркнуть и написать рядом другие цифры. А потом и другие зачеркнуть и написать третьи, совсем малюсенькие. Цель данной методики – не иначе как экономия бумаги, а корнями, полагаю, уходит она во времена военного коммунизма, земских школ, а то и берестяных грамот.

Для меня загадка – кто все-таки учит ребят исправлять, то есть карябать одну цифру поверх другой? Ведь понятно же, что разобрать будет очень трудно. Но нет – бумагу надо экономить.

А еще такая белая китайская субстанция под названием «штрих». Сделав ошибку, ученик замазывает ее пастой из тюбика, ждет, пока высохнет, а затем пишет сверху – красота!

При этом он уже подзабыл, что там было правильно, а что – нет, да и не разобраться теперь, да и ладно, все равно я гуманитарий и мне математика не дается!

И поэтому я на первом же занятии ученикам говорю: «У нас с тобой будет такое правило – ничего не исправляем, одно поверх другого не пишем, потому что неразборчиво получается. Лучше зачеркни всю строчку и аккуратно перепиши внизу. Бумаги у нас много». И вроде мелочь – а действует!

Четвертая причина проблем с математикой - непонятные слова и символы. Часто ученик не может «написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой 5», потому что не понимает, что такое абсцисса. А спросить – стесняется. И мне самой приходится спрашивать ребят, что такое функция, что значит – решить уравнение, где у дроби числитель, а где знаменатель. Я уж не говорю о вопросе «Что такое производная?» Редкий отличник даст на него ответ.

Непонимание происходит, как обычно, от незнания языка.

В математике множество условностей и сокращений. Первое, что нужно сделать, когда сталкиваемся с непониманием, — максимально развернуть рассматриваемый объект, разложить его на простейшие и расшифровать все сокращения.

Сергей Германович Кузнецов, учредитель Компании «Ваш репетитор»

Как, например, объяснить ученику, что 3+2·х не равно 5·х? Да так и объяснить. На простых примерах. На яблоках и грушах. На мышах и бегемотах.

3+2·х = 3 · (1) + 2 · х

Три мышки и два бегемота – ведь это не то же самое, что пять бегемотов!

Когда у меня плохое настроение, я выпускникам и студентам этот вопрос объясняю на пеньках.

Михаил Владимирович Солин, репетитор по математике и физике.

Сколько у нас уже? Четыре причины проблем с математикой перечислили – и все какие-то простые, прямо обидно!

Пятая причина проблем - забитая интуиция.

Много раз видела, как школьник (с ненулевым уровнем, конечно) решает задачи: он смотрит на условие, через пять секунд выдает верное решение («надо сделать вот такую замену…») — и немедленно отбрасывают эту идею как ненужную! И пускается «копать» в каком-то левом направлении, запутывается и, пригорюнившись, говорит: «Ну вот, так и знал, что ничего не получится. Я же гуманитарий!»

Я спросила у коллег - почему это так? Ответ был жестоко правдив: Потому что в школе ругают за ошибки. Потому что учитель торопит: «Быстрее, быстрее, все неправильно, делай, как я говорю…» У многих школьников возникает своеобразный «страх ответа у доски». Школа забивает интуицию.

Есть и шестая причина - отсутствие стратегии. Что делать, если получился абсурдный ответ или его вообще не получилось? Например, скорость катера, равная двум тысячам километров в час, или цена товара отрицательная. Или – ответ должен быть целым числом, а получился корень из трех. Многие школьники в этой ситуации зависают. Долго смотрят на бредовый результат. Затем все зачеркивают и бросают решение. А некоторые хитрые – подгоняют под ответ: зачеркивают лишние нолики или вместо корня из трех пишут просто 3. И тогда я говорю им: «Это обычная ситуация. На экзамене тоже может так получиться, ничего страшного. Тебе просто нужно вернуться, проверить, правильно ли записано условие, а затем – проверить каждый шаг в решении».

Иногда ученик получает в ответе какую-нибудь ерунду, осознает это и начинает искать в решении ошибку. Переправляет, перечеркивает… и снова зависает, с грустью в глазах. И тогда я отбираю у него исчерканный листочек. Отвлекаю на несколько минут – чтобы неправильное решение забылось. И говорю: «Начинай заново, с чистого листа».

А еще я много раз наблюдала, как старшеклассники

- решая задачу, забывают о том, что же они вообще искали,

- читают условие раз, другой и третий подряд, упорно «не замечая» какое-нибудь значимое слово

- не всегда умеют (а чаще – не хотят) говорить полными предложениями, с подлежащим, сказуемым и дополнениями, и выражают свою мысль примерно так: «Оно будет здесь, потому что ноль». Спрашиваю: «А что равно нулю?» — «Ну эта, как ее. Лучше я Вам пальцем покажу. Вот она!» - «И что будет здесь?» — «Этот! Ну, который ищем».

Ну вот, вроде все самое основное перечислили. Отбросим логарифмы, избавимся от «икса», перенесем, сменим знак, уберем корни, посчитаем в столбик, цифры переправим, ответ подгоним, короче, это самое найдем по формуле... Эх, опять не получилось! Ну нету, нету у меня способностей к математике!: -)