Экспериментальных данных

В любой конечной серии измерений нельзя точно определить ни истинное среднее значение, ни дисперсию распределения, которые соответствуют бесконечному множеству измерений.

По результатам n измерений величины X можно дать лишь оценку истинного среднего значения дисперсии неизвестного распределения, считая приближённо, что экспериментально полученные значения равны истинным.

Для распределения, описываемого законом Пуассона, вычисляемая дисперсия равна

. (6)

Положительное значение квадратичного корня из дисперсии является средним квадратичным отклонением случайной величины, которая таким образом равна корню квадратному из среднего значения:

. (7)

Это означает, что результаты отдельных измерений с вероятностью, близкой к 2/3, попадут в пределы . Относительная погрешность будет равна

; (8)

. (9)

Таким образом, чтобы, например, определить среднее число событий с точностью 10 % (s = 0, 1), нужно зафиксировать 100 событий, а чтобы определить среднее значение с точностью 1 %, необходимо зафиксировать около 10 000 событий.

Если проведено l серий измерений случайной величины X, причем в каждой из l серий величина X измерялась по m раз и по каждым m измерениям получена X _ср, то средние значения X _ср распределены около X _ист по нормальному закону с дисперсией D (х) = D (X_l)/ l, т. е. при усреднении по l сериям измерений дисперсия уменьшается в l раз.

В случае только одного измерения величины X выборочное среднее можно принять равным этому значению: X _ср ≈ X. При этом дисперсия оказывается неопределённой, поскольку неизвестен разброс экспериментальных данных.

Однако если можно предположить, что величина X описывается распределением Пуассона (а в большинстве экспериментов в ядерной физике это справедливо), то оценкой дисперсии является

.

Часто малый объем экспериментального материала (небольшая серия измерений) не позволяет с высокой точностью указать истинные значения X _ср и s. В этом случае доверительный интервал подсчитывается с помощью так называемых коэффициентов Стьюдента, для которых имеются специальные таблицы (таблица 1).

Таблица 1

Коэффициенты Стьюдента

Результат при этом записывается следующим образом:

, (10)

где ; – предполагаемые среднее и среднеквадратичное отклонение, рассчитанные по результатам малого числа измерений; С _{β n} – коэффициент Стьюдента; β – доверительная вероятность (иногда в таблицах указывается величина 1 – β = a – так называемый уровень значимости).

В большинстве экспериментов искомая величина представляет комбинацию из нескольких непосредственно определяемых случайных величин, связанных сложными соотношениями.

Если искомая величина Z связана с несколькими непо-средственно измеренными величинами X ₁, X ₂, …, Х_m функцией Z = f (X ₁, X ₂, …, Х_m), то можно сказать, что

. (11)

Это соотношение справедливо при выполнении двух условий – малости по сравнению с x_i и независимости x_i друг от друга.

Практическое следствие этого соотношения: для создания оптимальных условий основные усилия должны быть направлены на совершенствование наименее точных измерений.