Радиоактивный распад

Радиоактивный распад представляет статистический процесс, подчиняющийся вероятностным законам, строго соблюдаемым лишь для достаточно большого числа радиоактивных ядер. Число актов радиоактивного распада dN пропорционально количеству радиоактивных ядер N, имеющихся в данный момент времени t, и промежутку времени dt:

dN = –l Ndt.

Проинтегрировав данное выражение при граничном условии N (0) = N ₀, получим закон радиоактивного распада:

N (t) = – N ₀× e^{– l t},

т. е. число не претерпевших распад ядер атомов радиоактивного нуклида уменьшается с течением времени по экспоненциальному закону. Коэффициент пропорциональности λ, называемый постоянной распада, определяет вероятность распада ядер за единицу времени. На внутриядерные явления не оказывают существенного влияния внешние воздействия (температура, давление, электрическое и магнитное поля и т.п.), поэтому вероятность распада постоянна для каждого вида радиоактивного нуклида. Постоянная распада характеризует скорость радиоактивного распада данного нуклида, чем она больше, тем быстрее распадаются радиоактивные ядра.

Ядро, получающееся в результате распада, нередко само оказывается радиоактивным. В случае ряда из двух радиоактивных нуклидов для описания последовательных превращений ядер используется система двух уравнений:

dN ₁ = λ ₁ N ₁ dt,

dN ₂ = (λ ₁ N ₁ – λ ₂ N ₂) dt.

Во втором уравнении учтено накопление дочерних ядер N ₂ за счёт распада материнских ядер N ₁и дальнейший распад N ₂.

Решение системы имеет вид

,

.

Здесь N ₀₁ и N ₀₂ – начальное количество ядер N ₁ и N ₂.

Если в начальный момент имеются только материнские ядра, а дочерние отсутствуют, т. е. N ₀ = 0, то система уравнений принимает вид

,

.

Система имеет несколько частных решений.

1. Если λ ₁ > λ ₂, то материнские ядра распадаются быстрее дочерних. Большая часть материнских ядер превращается в дочерние за определённый (при λ ₁ > > λ ₂ очень короткий) промежуток времени, в течение которого почти не происходит радиоактивных распадов дочерних ядер. Для последующих моментов времени

,

из чего следует:

.

Количество дочерних ядер нарастает, достигает максимального значения и начинает убывать, определяя скорость распада смеси в целом.

2. Пусть материнские ядра распадаются медленнее дочерних, т. е.

λ ₂ > λ ₁, ,

тогда

,

т. е. распад дочерних ядер по истечении достаточно большого времени определяется вероятностью распада материнского вещества. Учитывая, что , найдем отношение количества дочерних и материнских ядер

,

которое остается неизменным, хотя количество каждого из веществ убывает со временем. Такое состояние называется переходным или динамическим равновесием.

3. Если λ ₂ > > λ ₁, то скорость распада материнского вещества настолько мала, что число его ядер в течение длительного времени практически не изменяется.

Число дочерних ядер нарастает вначале почти линейно, затем рост числа ядер замедляется и через короткий промежуток времени, равный нескольким периодам полураспада, достигает насыщения, при котором

,

или

N ₁ λ ₁ = N ₂ λ ₂.

Это соотношение, называемое законом векового равновесия, показывает, что число распадов материнских и дочерних ядер одинаковы. Число радиоактивных ядер, образующихся за единицу времени в результате распада материнских ядер, равно числу распадающихся за тo же время дочерних ядер, так что число дочерних ядер остается неизменным. Материнские и дочерние ядра находятся в длительном (вековом) равновесии.

Радиоактивный распад описывается рядом вероятностных характеристик. Время Т, по истечении которого число радиоактивных ядер, принимавшееся за начальное N ₀, уменьшается в два раза, называется периодом полураспада. Полагая в законе радиоактивного распада

, t = Т,

получим

,

откуда имеем λ T = ln 2 или

.

В силу статистического характера процесса радиоактивного распада нельзя сказать, когда именно распадается данное ядро, какова будет продолжительность его существования (можно лишь указать вероятность, с которой распадается ядро за тот или иной промежуток времени). Для описания радиоактивного распада целесообразно, однако, ввести среднее время жизни ядра t. Согласно определению математического среднего

.

Среднее время жизни ядра, таким образом, есть величина, обратная постоянной распада. К важнейшим характеристикам радиоактивного распада относится абсолютная активность или просто активность. Под активностью понимается число распадов ядер атомов, совершающихся во всём объёме радиоактивного вещества в единицу времени

.

Из закона радиоактивного распада следует, что A = λ N или

A = λ N ₀ e ^{–λ t} = A ₀ e ^{–λ t} ,

где A ₀ = – λ N ₀ – начальная активность.

Активность изменяется по экспоненциальному закону с тем же периодом, с каким происходит распад ядер, и приближается к нулю при t → ∞. За единицу активности в международной системе СИ принят 1 распад в секунду – Беккерель (Бк). Ранее широко использовалась внесистемная единица Кюри:

1 Кюри (Ku) = 3, 7× 10¹⁰ с^–1.

Необходимость в измерении активности возникает при проведении различных ядерно-физических экспериментов (измерение выходов ядерных реакций, в которых образуются радиоактивные нуклиды, определение сечений взаимодействий частиц с веществом, измерение периодов полураспада и др.), а также при решении разнообразных прикладных задач (в частности, при применении метода радиоактивных индикаторов).