Одноканальные СМО с однородным потоком заявок

Системы и сети массового обслуживания

Одноканальные системы массового обслуживания

ЗАНЯТИЕ 1/1

Принципы работы одноканальных СМО

Одноканальные СМО с однородным потоком заявок

Рассмотрим одноканальную СМО с однородным потоком заявок при следующих предположениях (рис.4.1):

1) СМО содержит один обслуживающий прибор, в котором в каждый момент времени может обслуживаться только одна заявка;

2) перед прибором имеется накопитель Н неограниченной ёмкости, что означает отсутствие отказов поступающим заявкам при их постановке в очередь О, то есть любая поступающая заявка всегда найдет в накопителе место для ожидания не зависимо от того, сколько заявок уже находится в очереди;

3) заявки поступают в СМО с интенсивностью λ;

4) средняя длительность обслуживания одной заявки в приборе равна b, причем длительности обслуживания разных заявок не зависят друг от друга;

5) обслуживающий прибор не простаивает, если в системе (накопителе) имеется хотя бы одна заявка, причем после завершения обслуживания очередной заявки мгновенно из накопителя выбирается следующая заявка;

6) заявки из накопителя выбираются в соответствии с бесприоритетной дисциплиной обслуживания в порядке поступления (ОПП) по правилу «первым пришел – первым обслужен» (FIFO – First In First Out).

7) в системе существует стационарный режим, предполагающий отсутствие перегрузок, то есть нагрузка и, следовательно, загрузка системы меньше 1: y = ρ = λ b < 1.

В качестве расчётной характеристики обслуживания заявок в СМО будем использовать среднее время ожидания заявок. Значения остальных характеристик функционирования СМО легко могут быть рассчитаны с использованием приведенных в разделе 3 фундаментальных соотношений (3.13) – (3.15).

Рассмотрим четыре модели СМО с однородным потоком заявок: экспоненциальную СМО М/М/1 и три неэкспоненциальные СМО типа M/G/1, G/M/1, G/G/1.

1. Характеристики экспоненциальной СМО M/M/1

Пусть заявки, поступающие в одноканальную СМО, образуют простейший поток с интенсивностью λ, а длительность τ _b обслуживания заявок распределена по экспоненциальному закону со средним значением b, причём ρ = λ b < 1, то есть система работает в установившемся режиме Такая СМО с однородным потоком заявок называется экспоненциальной.

С использованием метода средних значений [2] или марковской модели (см.п.5.4.4) можно получить следующие выражения для расчета средних значений:

• времени ожидания заявок

(4.1)

• времени пребывания заявок

(4.2)

• длины очереди заявок

• числа заявок в системе (в очереди и на обслуживании)

Из последнего выражения вытекает, что среднее число заявок в системе m = l + ρ, где второе слагаемое ρ определяет среднее число заявок, находящихся на обслуживании в приборе. Кроме того, сравнивая выражения (4.1) и (4.2) получим, что u = ρ w.

2. Характеристики неэкспоненциальной СМО M/G/1

Пусть заявки, поступающие в одноканальную СМО, образуют простейший поток с интенсивностью λ, а длительность τ _b обслуживания заявок распределена по произвольному закону B(τ) со средним значением b и коэффициентом вариации ν _b.

С использованием метода средних значений можно показать, что среднее время ожидания заявок определяется по формуле Поллачека-Хинчина [2]:

(4.3)

где ρ = λ b < 1 – загрузка системы.

Среднее время пребывания заявок в системе:

Следует отметить интересную особенность представленных выражений, а именно: средние значения характеристик обслуживания заявок зависят только от двух первых моментов длительности обслуживания заявок и не зависят от моментов более высокого порядка. Другими словами, для того чтобы рассчитать средние характеристики обслуживания, не обязательно знать закон распределения длительности обслуживания заявок – достаточно знать только два первых момента распределения. Можно показать, что для расчета вторых моментов характеристик обслуживания заявок достаточно задать три первых момента длительности обслуживания и т.д. Резюмируя, можно утверждать, что для СМО с простейшим потоком заявок для расчёта первых k моментов характеристик обслуживания необходимо задать (k +1) моментов длительности обслуживания заявок.

3. Характеристики неэкспоненциальной СМО G/M/1

Пусть в одноканальную СМО с интенсивностью λ поступает случайный поток заявок произвольного вида, задаваемый функцией распределения интервалов между заявками A(τ), а длительность τ _b обслуживания заявок распределена по экспоненциальному закону B(τ) со средним значением b (интенсивностью µ = 1/b).

СМО G/M/1 является симметричной по отношению к СМО M/G/1, рассмотренной в предыдущем пункте. Однако получение конечного результата в виде аналитического выражения для расчёта среднего времени ожидания, по аналогии с предыдущей моделью, в общем случае, оказывается невозможным. Это обусловлено тем, что среднее время ожидания, впрочем, как и другие числовые моменты, зависит не только от двух первых моментов интервалов между поступающими заявками, но и от моментов более высокого порядка, т.е. от закона распределения интервалов между заявками.

Среднее время ожидания заявок в очереди может быть рассчитано следующим образом [9]:

w=ς b / (1− ς), (4.4)

где ς – единственный в области 0 < ς < 1 корень уравнения

ς =A* (µ − µ ς). (4.5)

Здесь A*(s) – преобразование Лапласа плотности распределения a(τ) интервалов между поступающими в систему заявками:

Основная сложность при исследовании СМО G/M/1 заключается в том, что уравнение (4.5) для нахождения ς, в общем случае, является трансцендентным, и невозможно получить выражение для ς в явном виде.

Однако в каждом конкретном случае корень уравнения (4.5) может быть найден с использованием численных методов.

Как сказано выше, средние значения характеристик обслуживания заявок зависят не только от двух первых моментов интервалов между поступающими заявками, но и от моментов более высокого порядка, причем степень влияния соответствующих моментов убывает с увеличением порядка моментов. Другими словами, влияние моментов 4-го порядка менее существенно, чем моментов 3-го порядка и т.д.

Пример 4.1. Проиллюстрируем применение описанного метода расчета к рассмотренной выше СМО M/M/1 с простейшим потоком заявок.

В простейшем потоке интервалы времени между последовательными заявками распределены по экспоненциальному закону, преобразование Лапласа которого имеет вид:

Тогда уравнение (4.5) примет вид:

После некоторых преобразований получим квадратное уравнение:

µς ²− (λ +µ)ς +λ = 0.

Разделив левую и правую часть этого уравнения на µ, получим:

ς ²− (1+ρ)ς + ρ =0.

Из двух корней ς ₁ =1 и ς ₂ = ρ последнего уравнения условию 0< ς < 1 удовлетворяет только второй корень. Подставляя его в выражение (4.4) окончательно получим выражение для среднего времени ожидания, совпадающее с известным для СМО M/M/1 выражением (4.1).

ВЫВОД

Средние значения характеристик обслуживания заявок зависят не только от двух первых моментов интервалов между поступающими заявками, но и от моментов более высокого порядка, причем степень влияния соответствующих моментов убывает с увеличением порядка моментов.