Стратегии. Нормальная форма игры

В интуитивном понимании стратегия есть некоторый план развертывания игры.

Стратегия i-го игрока есть некоторая функция, которая ставит в соответствие каждому информационному множеству этого игрока некоторый индекс из .

Будем обозначать множество всех стратегий i-го игрока через .

Вообще говоря, игрок принимает решение о своем ходе в игре обычно в тот момент, когда надо делать этот ход. Однако с чисто теоретической точки зрения можно абстрагироваться от такого практического ограничения и предполагать, что уже до начала игры каждый игрок решил, что он будет делать в каждом случае. Т.е. предполагаем, что каждый игрок выбрал некоторую стратегию уже до начала игры. Поскольку это так, то остается лишь произвести случайные ходы. Более того, все случайные ходы можно объединить в один ход, результат которого вместе с выбранными стратегиями определяет исход игры.

Нас, как и игроков, интересует, какие из стратегий являются наилучшими с точки зрения максимизации доли каждого игрока в выигрыше: i-й игрок стремится максимизировать i-ю компоненту функции выигрыша.

Так как результаты случайных ходов известны только в вероятностном смысле, то естественно рассматривать математическое ожидание функции выигрыша, определенное в случае, когда игроки используют данный n-набор стратегий, т.е данную ситуацию. Поэтому для описания математического ожидания функции выигрыша при условии, что i-й игрок применяет стратегию , можно использовать следующее обозначение:

Функцию на множестве всех возможных значений x₁, …, x_n можно выразить либо в форме соотношения, либо в виде n-мерной таблицы n-мерных векторов. В случае n=2 эта запись сводится к матрице, элементами которой являются пары вещественных чисел. Такая n-мерная таблица называется нормальной формой игры.