Типичные математические приемы, используемые в сфере технических наук

7.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

В современных прикладных исследованиях, особенно в сфере технических наук, находят применение самые разнообразные математические приемы. «Математический инструментарий» исследователя в сфере прикладных наук обычно уже, чем в фундаментальных, однако это нельзя считать общим правилом, ибо методы исследований в значительной мере зависят от личных предпочтений и математической культуры конкретного исследователя. Удачная математическая модель зачастую позволяет совершенно по-новому смотреть на изучаемый объект и получать самые неожиданные результаты. Более того, имеется немало примеров, когда внедрение некоторых математических понятий в ту или иную отрасль науки влияло на все ее дальнейшее развитие. Таковым, например, было использование понятия вектора в механике, понятие функции в физике и многих связанных с ней науках. Немало других, более узких математических понятий стало неотъемлемой частью многих технических наук, которые в настоящее время уже трудно представить без этих понятий. Например, современные гидравлика, теплотехника и ряд других технических наук неразрывно связаны с понятием «критерия подобия». В гидравлике это критерии Рейнольдса, Фруда, Пуазейля и др., в теплотехнике — критерии (числа) Фурье, Био, Прандтля и т. д. Хотя эти понятия пришли из математики, вносили их в технические науки, как правило, не математики, а специалисты по соответствующим отраслям физических знаний (инженеры-физики О. Рейнольде, У. Фруд, механик Л. Прандтль и т. д.).

Математизация всегда вносит порядок в рассмотрение любого, даже незначительного научного вопроса. Специалист в области той или иной прикладной науки нередко своим исследованием дополняет «математический инструментарий» этой науки, хотя чаще всего вносимые дополнения оказываются не столь эффективными, чтобы превращаться в общепринятые методы.

Несмотря на отсутствие единых правил математической трактовки физических процессов, обобщение опыта таких трактовок имеет очень большое значение, ибо оно позволяет выделять многие типовые приемы решения возникающих задач. Изучение их является исключительно полезным для начинающего исследователя, подобно тому как для начинающего шахматиста полезно изучение множества ранее известных дебютов, типичных комбинаций, окончаний и т. д. Далее приводятся некоторые приемы математической интерпретации инженерных задач, характерные для технических наук, особенно в сфере строительства и природообустройства.

7.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Дифференциальные уравнения представляют один из наиболее старых «инструментов» исследователя, который в настоящее время существенно трансформировался применительно к современным условиям научной деятельности (компьютеризации и пр.). Тем не менее, происшедшие изменения в основном коснулись методов решения таких уравнений (или их систем), главная же проблема исследователя — составление таких уравнений — осталась неизменной, т. е. такой же, как и в «докомпьютерную эпоху».

Единой методики составления дифференциальных уравнений, которую мог бы освоить начинающий исследователь за короткое время, не существует: необходима длительная практическая тренировка в решении подобных задач. Однако сложность использования дифференциальных уравнений в качестве математических моделей начинающий исследователь часто сильно преувеличивает. Решение многих технических задач не требует принципиально нового подхода и зачастую может сводиться к корректировке уже полученных ранее решений. Как правило, среди множества публикаций по изучаемому вопросу имеются работы, в которых авторы уже решали аналогичные теоретические задачи, используя дифференциальные уравнения в качестве математической модели. В этих работах могли рассматриваться несколько иные условия, авторы могли в чем-то ошибаться, что-то недооценивать или переоценивать, так что корректировка их решений может быть очень полезным шагом в изучении рассматриваемого вопроса. Тем не менее, внесение поправок в такие решения несопоставимо проще, чем создание принципиально новой математической модели, т. е. такое усовершенствование известных решений вполне может быть доступно начинающему исследователю, даже не обладающему большими навыками составления дифференциальных уравнений. Это характерно для многих исследований в сфере механики (теории упругости, теории пластичности, статики и динамики сооружений и т. д.), когда сложные на первый взгляд решения нередко оказываются вариантами преобразования уже известных решений.

Очевидно, что описанная ситуация не всегда имеет место. В ряде случаев решение-аналог найти не удается, и исследователь вынужден в какой-то мере становиться первопроходцем, создавая свою математическую модель. Тем не менее, и в этих случаях работа упрощается, если исследователь знаком с некоторыми типовыми приемами составления дифференциальных уравнений. Хотя такие приемы, неоднократно предлагавшиеся различными авторами, не свободны от субъективизма, начинающий исследователь всегда может найти в них много полезных «подсказок» для своих исследований.

На первом этапе составления дифференциальных уравнений полезно составить упрощенную схему взаимодействия объекта с внешней средой. На рис. 7.1 представлены наиболее простые схемы таких взаимодействий по В. И. Крутову и В. В. Попову.

Схема, представленная на рис. 7.1а, отражает ситуацию, когда на объект воздействует только один фактор х, а его поведение (взаимодействие с внешней средой) оценивается по одному показателю у (один выходной сигнал).

Схема, соответствующая рис. 7.1б, отражает ситуацию, когда на объект действует тоже один фактор х, но его поведение оценивается по нескольким показателям у₁, y₂…, y_i (несколько выходных сигналов).

Схема, соответствующая рис. 7.1в, — на объект действуют несколько факторов x₁, х₂, …x_i но его поведение оценивается по одному показателю у.

Схема, соответствующая рис. 7.1г, — на объект действуют несколько факторов x_1, x_2, …x_i, и y₁, y₂, …y_i его поведение оценивается тоже по нескольким показателям

Изменение выходного сигнала во времени y(t) называют выходной характеристикой системы.

Схемы с несколькими входными воздействиями x_i и выходными сигналами у_i, обычно приводятся к более простым схемам с одиночными воздействиями и выходными сигналами. Каждое воздействие связывается с каждым выходным сигналом, при этом выходные сигналы считаются независимыми.

В задачах, связанных с применением методов механики, параметрами изменений воздействующих факторов и выходных сигналов чаще всего являются время (t) и пространственные координаты (x, у, z). В случаях, когда изучаемый объект является статическим, т. е. его выходные сигналы не зависят ни от времени, ни от пространственных координат, построение функциональной модели обычно осуществляется с помощью алгебраических уравнений. Если интересующие исследователя переменные зависят от времени, но не зависят от пространственных координат, для моделирования используются обыкновенные дифференциальные уравнения.

В случаях, когда выходная характеристика зависит и от времени, и от пространственных координат, используются дифференциальные уравнения с частными производными.

Структуру дифференциального уравнения можно приближенно определять по виду выходной характеристики изучаемого объекта, получаемой на основе экспериментов или даже исходя из сложившихся практических представлений. На рис. 7.2 представлены приводимые в упомянутом пособии В. И. Крутова и В. В. Попова примеры графических зависимостей у от параметра t (характеристик объекта изучения), каждая из которых соответствует решениям различных дифференциальных уравнений.

Рис. 7.2 Примеры характеристик изучаемого объекта при ступенчатом внешнем воздействии (зависимости искомого показателя у от параметра t)

Так, линейная зависимость на рис. 7.2а(наклонная часть) соответствует решению дифференциального уравнения

при начальном условии: t = 0 → у = 0.

В этом уравнении k — коэффициент размерности и пропорциональности (k > 0).

Зависимость на рис. 7.2б соответствует решению такого же уравнения, но при начальном условии t = 0→ y = y₀ ≠ 0

Более сложный вид реакции объекта на ступенчатое входное воздействие, представленный на рис. 7.2г, может быть описан полным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка

где а₀, k — коэффициенты дифференциального уравнения.

Начальное условие: t = 0→ у = у₀≠ 0.

Реакция объекта, соответствующая рис. 7.1в, позволяет использовать в качестве математической модели дифференциальное уравнение второго порядка

где a ₀, a_i, k — коэффициенты уравнения.

Начальное условие: t = 0 —> у = у₀* 0.

Если входные воздействия х являются некоторыми функциями от параметра t (времени или другого фактора), в приведенных дифференциальных уравнениях изменяются правые части, т. е. принимается х = f(t).

Естественно, что описанный прием удается использовать далеко не всегда, ибо исследователь может не располагать необходимой для этого информацией. Чаще всего приходится искать математическую модель, не зная ее структуры, исходя из логического анализа имеющихся представлений об изучаемом процессе. Такой поиск обычно основывается либо на анализе малых приращений изучаемых переменных, рассматриваемых как дифференциалы, либо на анализе скоростей их изменения, рассматриваемых как производные. Вместо скоростей иногда удобно рассматривать ускорения, представляющие вторые производные рассматриваемой переменной. Принципиальной разницы в таких подходах нет, их применение — вопрос удобства и простоты рассуждений.

Далее приводятся некоторые примеры, иллюстрирующие эти подходы.

Пример 1. Если тело, нагретое до температуры T помещено в среду, температура которой равна нулю, то при известных условиях можно считать, что приращение ∆ T (отрицательное при Т > 0) его температуры за малый промежуток времени ∆ t с достаточной точностью выражается формулой

∆ T = -kT∆ t,

где k — постоянный коэффициент.

Заменяя приращения ∆ T, ∆ t дифференциалами, имеем

dT = -kTdt

т. е. получаем дифференциальное уравнение

Общее решение (общий интеграл) этого уравнения имеем вид:

T=Ce^-kt (7.5)

где постоянная С определяется, исходя из начального условия

t = 0→ T₀ = Се⁰ = С,

где Т₀ — температура в момент времени t = 0.

Таким образом, частное решение будет иметь вид

T=T₀e^-kt (7.5а)

Эту же задачу можно решать, исходя из условия, что скорость остывания убывает пропорционально температуре, т. е. принимая зависимость (7.4) за исходную. Все последующие действия остаются прежними.

Пример 2. Груз массой т подвешен к пружине и находится в положении равновесия (рис. 7.3а). Отклонения его от положения равновесия с помощью растяжения пружины (рис. 7.36) приводят груз в движение. Если x(t) обозначает величину отклонения груза от положения равновесия в момент времени (, то ускорение тела выражается второй производной x" (t). Сила т • x" (t)_t действующая на тело, при небольших растяжениях пружины по законам теории упругости пропорциональна отклонению x(t). Таким образом, получается дифференциальное уравнение

и показывает, что тело будет совершать гармонические колебания (рис. 7.3 в).

В выражениях (7.6)-(7.7) используются наиболее привычные обозначения пути и ускорения д: и х", если же привести их в соответствие со схемами рис. 7.1, то x везде необходимо заменить на у.

Аналогичным образом составляются и уравнения в частных производных. Как правило, это является более сложным вопросом, особенно на этапе решения этих уравнений, ибо интегрирование дифференциальных уравнений в частных производных применительно к тем или иным краевым условиям представляет во многих случаях сложнейшую математическую задачу. При решении конкретных практических вопросов чаще всего исследователи ограничиваются совершенствованием ранее известных решений, а в последние годы явно превалируют численные методы решения.