Вес при голосовании

В качестве применения теоретико-множественных и комбинаторных понятий рассмотрим роль коалиций и отдельных членов в голосующих группах людей (см.[10]).

Универсальным множеством здесь будет некоторое множество людей, которые образуют принимающую решения группу, например парламент, совет, конференция, собрание и т.д. Каждый член этой группы может иметь некоторое количество голосов. Решение о проведении или не проведении какой-то меры может приниматься простым большинством или большинством в 2/3 голосов и т.д.

Допустим, что некоторое подмножество членов группы образует коалицию с целью проведения какой-то меры. Вопрос состоит в том, располагают ли они достаточным числом голосов, обеспечивающим проведение данной меры. Если располагают, то будем говорить, что они образуют выигрывающую коалицию. Если члены, не входящие в эту коалицию, могут провести свое решение вопреки желанию рассматриваемой группы, то будем говорить, что первоначальная коалиция - проигрывающая. Если члены этой коалиции не могут сами провести никакого решения и если члены, не принадлежащие этой коалиции, также не могут провести никакого решения, то рассматриваемую коалицию назовем блокирующей. Итак:

Коалиция С – выигрывающая, если она располагает числом голосов, достаточным для предрешения исхода; С – проигрывающая, если С’ – выигрывающая; и, наконец, С – блокирующая, если ни С, ни С’ не являются выигрывающими.

Из определения непосредственно следует, что дополнение выигрывающей коалиции есть проигрывающая коалиция, дополнением проигрывающей является выигрывающая коалиция, дополнением блокирующей является блокирующая коалиция. Кроме того, ясно, что если С есть выигрывающая коалиция, то любое подмножество, содержащее С, снова есть выигрывающая коалиция. А следовательно можно поставить вопрос о минимальной выигрывающей коалиции: Это такая выигрывающая коалиция, которая не содержит в качестве собственного подмножества никакой другой выигрывающей коалиции.

Рассмотрим примеры.

Пример 1: Комитет состоит из шести человек, имеющих по одному голосу каждый. Исход решается простым большинством голосов. Тогда любая коалиция из 4-х человек – выигрывающая, из 2-х – проигрывающая, из 3-х – блокирующая. Минимальная – из 4-х.

Пример 2: В условиях примера 1 председателю дано право решающего голоса в случае равенства голосов в двух группах. Любая коалиция из 3-х человек, куда входит председатель, будет выигрывающей. Здесь нет блокирующих коалиций.

Пример 3: Пусть Á ={x, y, w, z}, x и y имеют по одному голосу, w – два голоса, z- три голоса. Для проведения решения надо набрать пять голосов. Тогда {z, w} – выигрывающая, и {z, x, y} - тоже. Это минимальные выигрывающие коалиции. Коалиция {z} - блокирующая.

Интересным является вопрос о весе отдельных участников голосования. Введем числовую меру, оценивающую этот вес, следуя Shepley L., Shubik M.

Можно упорядочить n членов комитета по степени их готовности голосовать за данное мероприятие: x₁, x₂,..., x_n, то есть x₁ - наиболее убежденный сторонник и т.д. Если коалиция (x₁, x₂,..., x_i) – выигрывающая, а (x₁, x₂,..., x_i-1) – еще не выигрывающая, то достаточно убедить x_i проголосовать за данное мероприятие, чтобы коалиция стала выигрывающей. Назовем x_i ведущим членом в данном голосовании.

Исследуем все возможные позиции членов комитета при голосовании и посмотрим, как часто является ведущим данное лицо. Ясно, что для этого надо рассматривать все n! перестановок. Частота, с которой данное лицо окажется ведущим, и может служить мерой его веса в голосовании.

Определение: Весом члена комитета в голосовании назовем число позиций, в которых он оказывается ведущим, деленное на общее число позиций.

Пример 4: В примере 1(для n человек) вес каждого равен y_n. При n=3 второй- ведущий. Всего 3! =6 позиций. Каждый на втором месте может появляться 2 раза. Значит, вес каждого члена при голосовании равен 2/6=1/3.

Пример 5: Интересным оказывается распределение весов в примере 3. Рассчитаем, например, вес z при указанном способе голосования. Выпишем все возможные ситуации, когда z является ведущим, при этом ведущий элемент z будем выделять жирным шрифтом: 1). wxy z, 2). wx z y, wy z x, xy z w, 3). w z xy. Случаев типа 1) возможно 3! =6; в каждом из случаев 2) возможно по 2!, т.е. по две возможности; в случае 3) могут иметь место только две ситуации. Значит всего получаем 14 случаев, когда z является ведущим. Поэтому вес z=14/24. Если читатель не поленится, то он подсчитает, что вес w=6/24, а x и y по 2/24. Таким образом мы получили удивительный результат: при начальном распределении голосов 3: 2: 1: 1 распределение весов членов комитета получилось совсем другим, а именно: 7: 3: 1: 1!