Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Условные распределения




В случае дискретной СВ закон распределения двумерного случайного вектора (X, Y)удобно задавать набором вероятностей pij = P{X = xi, Y = yj} для всех значений i и j. Зная вероятности pij, нетрудно найти законы распределений каждой из координат по формулам

,

Определение. Для двумерной дискретной случайной величины(X, Y) условной вероятностью πij, i= 1, ..., n, j = 1,...,m, того, что случайная величина X примет значение xi при условии Y = yj,называют условную вероятность события {X = xi}при условии события {Y = yj} т.е.

При каждом j, j = 1, ..., m, набор вероятностей πij, i = 1, ..., n, определяет, с какими вероятностями случайная величина X принимает различные значения хi, если известно, что случайная величина Y приняла значение yj. Иными словами, набор вероятностей πij, i = 1, ..., n, характеризует условное распределениедискретной случайной величины X при условии Y = уj.

Аналогично определяют условную вероятность того, что случайная величина Y примет значение yj при условии X = хi.

 

X1 X2
PX1
q q q
p p p
PX2 q p  

Пример 1.Условное распределение числа Х1успехов в первом испытании по схеме Бернулли при условии, что число успехов во втором испытании X2 = j, j = 0, 1, задается таблицей. Из этой таблицы следует, что, независимо от числа успехов во втором испытании, 0 или 1 успех в первом испытании происходит с одними и теми же вероятностями р и q. Это очевидно, поскольку испытания по схеме Бернулли являются независимыми.

Пример 2.Условное распределение случайной величины X (числа очков, выпавших на верхней грани игральной кости) при условии Y = yj (числа очков, выпавших на нижней грани игральной кости), j = 1, ..., 6, представлено в таблице. Действительно, если, например, на нижней грани выпало одно очко, то на верхней грани может выпасть только шесть очков (π61 = 1).

 

X Y
РX
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
PY 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6  

Перейдем к случаю, когда двумерный случайный вектор (X, Y) имеет непрерывную совместную плотность распределения р(х, у) и непрерывные маргинальные плотности распределения



,

Условная функция распределения

Определение. Условной плотностью распределения случайной величины X (случайной величины Y),являющейся координатой двумерного случайного вектора (X, Y), при условии, что другая его координата приняла некоторое фиксированное значение у (значение x), т.е. Y = y (X = x), называют функцию рX(x|у)(рY(y|x)) определяемую соотношением

Критерий независимости случайных величин X и Y. Случайные величины X и Y являются независимыми тогда и только тогда, когда условное распределение (функция распределения, плотность распределения) случайной величины X при условии Y = у совпадает с безусловным распределением (функцией распределения, плотностью распределения) случайной величины X.

Определение.Для дискретной двумерной случайной величины (X, Y) значениемМ(Х | Y = yj) условного математического ожидания дискретной случайной величины X при условии Y = yj, называют число

Определение.Условным математическим ожиданием М(Х|Y)дискретной случайной величины X относительно дискретной случайной величины Y называют функцию M(X | Y) = g(Y) от случайной величины Y, где область определения функции g(у)совпадает с множеством значений y1, ..., ym случайной величины Y, а каждому значению yj аргумента у поставлено в соответствие число g(уj) = М(Х | уj).

Подчеркнем еще раз, что условное математическое ожидание М(X|Y) является функцией от случайной величины, т.е. также случайной величиной.



Пример 3.Найдем условное математическое ожидание М(Х|Y) случайной величины X − числа очков, выпавших на верхней грани игральной кости, относительно случайной величины Y − числа очков, выпавших на нижней грани (см. пример 2). В соответствии с таблицей

Полученный результат в терминах условного математического ожидания можно записать в виде М(Х|Y) = 7 − Y.

Теорема. Условное математическое ожидание M(Х|Y)обладает следующими свойствами.

1. М(с|Y) = с.

2. M(aX + b|Y) = aM(X|Y) + b.

3. M(X1 + X2|Y) = M(X1|Y) + M(X2|Y).

4. Пусть случайные величины Х1и Х2являются независимыми при условии, что случайная величина Y приняла любое конкретное значение. Тогда M(X1X2|Y) = M(X1|Y)M(X2|Y).

5. MX = M(M(X|Y)).

6. Пусть и(Хv(Y) функции от случайных величин X и Y. Тогда M(u(X)v(Y)|Y) = v(Y)M(u(X)|Y).

7. Если X и Y − независимые случайные величины, то М(X|Y)= MX.

Определение.Для непрерывной двумерной случайной величины (X, Y) значением М(Х|у) = M(Х|Y = y) условного математического ожидания непрерывной случайной величины X при условии Y = у называют число

Определение. Для непрерывной двумерной случайной величины (X, Y) условным математическим ожиданием M(X|Y)непрерывной случайной величины X относительно случайной величины Y называют функцию g(Y)= М(Х|Y) от случайной величины Y,принимающую значение g(у)= М(X|у) при Y = у.

Определение. Функцию g(у)называют функцией регрессии, или просто регрессией, случайной величины X на случайную величину Y, а ее график − линией регрессии случайной величины X на случайную величину Y, или просто X на Y.

Линия регрессии графически изображает зависимость „в среднем" случайной величины X от значения случайной величины Y.

Закон больших чисел и центральная предельная теорема С самого начала изучения курса теории вероятностей мы говорили о том, что практическое применение методов этой математической дисциплины основывается на законе предельного постоянства частоты события. Закон предельного постоянства частоты события установлен эмпирически. В соответствии с этим законом повторение одного и того же опыта приводит к тому, что частота появления конкретного случайного события теряет свойства случайности и приближается к некоторому пределу, который в соответствии со статистическим определением вероятности и называют вероятностью. Однако для того чтобы теория согласовывалась с практикой, при аксиоматическом определении вероятности, которое мы использовали, этот закон предельного постоянства частоты должен быть обоснован теоретически. Иначе говоря, он должен быть сформулирован и доказан в виде одной или нескольких теорем. В теории вероятностей теоремы такого типа обычно называют различными формами закона больших чисел, которые, в частности, поясняют смысл математического ожидания случайной величины, и то, почему его называют также средним значением. Центральная предельная теорема, в свою очередь, объясняет то широкое распространение, которое получило на практике нормальное распределение. Определение. Последовательность Х1, Х2, ..., Xn, ... случайных величин удовлетворяет закону больших чисел (слабому), если для любого ε > 0 Иными словами, выполнение закона больших чисел отражает предельную устойчивость средних арифметических случайных величин: при большом числе испытаний они практически перестают быть случайными и совпадают со своими средними значениями. Теорема. Если последовательность Х1, Х2, ..., Xn, ... независимых случайных величин такова, что существуют MXi = mi и DXi = σi,причем дисперсии ограничены в совокупности (т.е. ), то для последовательности Х1, Х2, ..., Xn, ... выполнен закон больших чисел. При этом говорят также, что к последовательности Х1, Х2, ..., Xn, ... случайных величин применим закон больших чисел в форме Чебышева. , , Следствие. Если случайные величины Хi, i = 1, 2, ..., в условиях предыдущей теоремы являются также одинаково распределенными (в этом случае mi = m и ), то последовательность Х1, Х2, ..., Xn, ... случайных величин удовлетворяет закону больших чисел в следующей форме: Теорема. (центральная предельная теорема). Пусть X1, X2, ..., Xn, ... − последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, MXn = m, DXn = σ2. Тогда где Ф(х) − функция стандартного нормального распределения.

 


mylektsii.ru - Мои Лекции - 2015-2018 год. (0.01 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал