Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Примеры решения задач. 1.Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов
1. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов . Найти длину волны де Бройля для двух ситуаций: 1) = 51 В; 2) = 510 кВ.
является частица классической или релятивистской. Для решения этого вопроса сравним в каждом случае кинетическую энергию частицы с энергией покоя . (3.16) Кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов , может быть определена после умножения разности потенциалов на модуль заряда электрона : . (3.17) Вычисляя по формуле (3.17), получим: 51 эВ = МэВ; 510 эВ = 0, 51 МэВ. Энергию покоя электрона найдем по формуле (3.16): МэВ. Очевидно, что , а . Следовательно, в первой ситуации электрон является классической частицей, а во второй – релятивистской. Поэтому импульс электрона определим следующим образом: ; (3.18) . (3.19) С учетом формул (3.18) и (3.19) представим формулу (3.7) в форме, удобной для выполнения вычислений: ; (3.20) . (3.21) Вычислим длину волны де Бройля по формулам (3.20) и (3.21) с учетом найденных ранее значений кинетической энергии электрона: ; . Ответы: 171, 8 пм; 1, 4 пм.
2. На узкую щель шириной а = 1 мкм направлен параллельный пучок электронов, имеющих скорость = 3, 65 Мм/с. Учитывая волновые свойства электронов, определите расстояние х между двумя максимумами интенсивности первого порядка в дифракционной картине, полученной на экране, отстоящем на = 10 см от щели.
Воспользуемся оптико-механической аналогией и учтем, что при дифракции на щели положение дифракционных максимумов приблизительно можно определить по формуле , (3.22) где k = 0, 1, 2, 3, …(в рассматриваемой ситуации следует выбрать k = 1), - длина волны, которую следует сопоставить электрону, то есть длина волны де Бройля, определяемая по формуле (3.7). Так как заданная в условии задачи скорость электрона значительно меньше скорости света в вакууме, то электрон можно считать нерелятивистской частицей, а его импульс определять по формуле: , (3.23) где - масса покоя электрона, - скорость его движения. Так как рассматривается дифракция в первый порядок, то угол дифракции мал, и можно считать, что . (3.24) Тангенс угла дифракции найдем, воспользовавшись схемой опыта: , (3.25) где - расстояние от центра дифракционной картины до рассматриваемого максимума. Комбинируя формулы (3.7), (3.22) – (3.25) с учетом значения k = 1, получим выражение для расчета расстояния между указанными в задаче дифракционными максимумами: . (3.26) Вычислим искомое расстояние по формуле (3.26): . Ответ: х = 60 мкм. 3 На грань кристалла никеля падает параллельный пучок электронов. Кристалл поворачивают так, что угол скольжения изменяется. Когда этот угол становится равным 64°, наблюдается максимальное отражение электронов, соответствующее дифракционному максимуму первого порядка. Принимая расстояние между атомными плоскостями кристалла равным 200 пм, определите длину волны де Бройля электронов и их скорость .
Выражая из формулы (3.27) длину волны де Бройля, получим: . (3.28) Воспользуемся выражением длины волны де Бройля через импульс частицы и постоянную Планка: . (3.29) Из формулы (3.29) найдем скорость электрона: . (3.30) Вычислим искомые величины по формулам (3.29) и (3.30): пм; м/с = 2 Мм/с. Ответы: 360 пм; 2 Мм/с. 4. Электрон в плоскопараллельном слое толщины из вещества, показатель преломления которого , движется со скоростью перпендикулярно ограничивающим слой плоскостям. Скорость электрона , при этом регистрируется излучение Вавилова – Черенкова. Определить угол раствора конического сектора, в котором сконцентрировано излучение вследствие конечности толщины слоя.
Угол между направлением полета частиц и направлением излучения определяется из равенства , (3.31) где - скорость света в вакууме, - показатель преломления среды, - модуль скорости частицы. Неопределенность импульса электрона, находящегося в слое вещества толщиной d, составляет величину порядка , (3.32) а неопределенность его скорости равна , (3.33) где – масса электрона. Продифференцируем левую часть выражения (3.31) по , а правую часть – по : . (3.34) Считая неопределенности угла и скорости малыми величинами, представим (3.34) в виде: . (3.35) Из выражения (3.35) выразим модуль и учтем в полученном выражении формулу (3.33): . (3.36) Числовое значение найденного угла может быть определено после задания значений показателя преломления среды, толщины слоя и скорости электрона. При этом следует определить с применением основного тригонометрического тождества и формулы (3.31).
5. Комптоновское рассеяние квантов на электронах атомов осложняется тем, что электроны в атомах не находятся в покое. Оцените связанный с этим разброс в углах разлета электронов отдачи, выбиваемых из атомов водорода при рассеянии строго назад рентгеновских квантов с длиной волны = 0, 1 нм.
При этом неопределенность в положении электрона можно отождествить с радиусом первой боровской орбиты ( м). Продольную составляющую импульса электрона после его взаимодействия с фотоном найдем, воспользовавшись законом сохранения импульса: , (3.38) а изменение частоты – применяя формулу Комптона , (3.39) где – комптоновское смещение длины волны, пм – комптоновская длина волны для электрона, – угол рассеяния. Так как рассматривается рассеяние строго назад, то . (3.40) Определяя импульс (скорость) электрона в ходе решения системы уравнений (3.38) и (3.40), легко убедиться, что , (3.41) и что электрон в данной задаче нерелятивистский. Оценим теперь разброс в угле рассеяния электрона (рисунок 3.6).
На рисунке 3.6 видно, что . (3.42) Учтем в (3.42) формулы (3.37) и (3.41): . (3.43)
Тогда искомый разброс угла рассеяния определим как . (3.44) Производя вычисления, получим: . Ответ: = 7, 3°. 6. Оцените минимальный размер железной пылинки, при котором можно наблюдать эффект Мёссбауэра с энергией перехода Е = 14 кэВ и временем жизни = 10-3 с, если отдачей пылинки будет обусловлено доплеровское смещение, равное естественной ширине линии. Примечание. Эффект Мёссбауэра заключается в том, что при достаточно низкой температуре отдачу испытывает не отдельное излучившее ядро, а весь кристалл (в рассматриваемой задаче – пылинка).
Доплеровское смещение частоты гамма-кванта вследствие движения излучателя (пылинки) определяется из соотношения . (3.46) Естественную ширину линии найдем из соотношения неопределенностей: . (3.47) Комбинируя формулы (3.46) и (3.47), найдем минимальную массу пылинки, при которой еще наблюдается эффект Мёссбауэра: . (3.48) Оценим радиус пылинки, считая, что она имеет сферическую форму. Так как объем шара (3.49) и, иначе, , (3.50) то, комбинируя формулы (3.48), (3.49) и (3.50), получим: . (3.51) Вычислим по формуле (3.51) оценочное значение радиуса пылинки, приняв ее плотность равной 8000 кг/м3: м. Ответ: см.
|