Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.

Обобщением определенного интеграла на случай функций двух переменных является так называемый двойной интеграл.

Пусть в замкнутой области D плоскости Оху задана непрерывная функция z=ƒ (х; у). Разобьем область D на n «элементарных областей» площади которых обозначим через Δ Si, а диаметры (наи большее расстояние между точками области) - через di(см. рис. 3).

В каждой области Di выберем произвольную точку Mi(xi; yi), умножим значение ƒ (хi; уi) функции в этой точке на Δ Si и составим сумму всех таких произведений:

Эта сумма называется интегральной суммой функции ƒ (х; у) в области D.

Рассмотрим предел интегральной суммы (7.1), когда n стремится к бесконечности таким образом, что maxdi -> 0. Если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции ƒ (х; у) по области D и обозначается

Таким образом, двойной интеграл определяется равенством

В этом случае функция ƒ (х; у) называется интегрируемой в области D; D - область интегрирования; х и у - переменные интегрирования; dxdy (или dS) - элемент площади.

Для всякой ли функции ƒ (х; у) существует двойной интеграл? На этот вопрос отвечает следующая теорема, которую мы приведем здесь без доказательства.

Теорема 7.1 (достаточное условие интегрируемости функции). Если функция z=ƒ (х; у) непрерывна в замкнутой области D, то она интегрируема в этой области.

Замечания.

1. Далее будем рассматривать только функции, непрерывные в области интегрирования, хотя двойной интеграл может существовать не только для непрерывных функций.

2. Из определения двойного интеграла следует, что для интегрируемой в области D функции предел интегральных сумм существует и не зависит от способа разбиения области. Таким образом, мы можем разбивать область D на площадки прямыми, параллель ными координатным осям (см. рис. 4). При этом равенство (7.2) можно записать в виде

7.2. Геометрический и физический смысл двойного интеграла

Рассмотрим две задачи, приводящие к двойному интегралу.

Объем цилиндрического тела

Рассмотрим тело, ограниченное сверху поверхностью снизу - замкнутой областью D плоскости Оху, с боков - цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Oz, а направляющей служит граница области D (см. рис. 5). Такое тело называется цилиндрическим. Найдем его объем V. Для этого разобьем область D (проекция поверхности z=ƒ (х; у) на плоскость Оху) произвольным образом на п областей Di, площади которых равны Рассмотрим цилиндрические столбики с основаниями Di, ограниченные сверху кусками поверхности z=ƒ (х; у) (на рис. 5 один из них выделен). В своей совокупности они составляют тело V. Обозначив объем столбика с основанием Di через ∆ Vi, получим

Возьмем на каждой площадке Di произвольную точку Mi(xi;, yi) и заменим каждый столбик прямым цилиндром с тем же основанием D; и высотой zi=ƒ (хi; уi).

Объем этого цилиндра приближенно равен объему Δ Vi цилиндрического

столбика, т. е. . Тогда получаем:

Это равенство тем точнее, чем больше число n и чем меньше размеры «элементарных областей» Di. Естественно принять предел суммы (7.3) при условии, что число площадок Di неограниченно увеличивается (n -> ∞), а каждая площадка стягивается в точку (maxdi-> 0), за объем V цилиндрического тела, т. е.

или, согласно равенству (7.2),

Итак, величина двойного интеграла от неотрицательной функции равна объему цилиндрического тела. В этом состоит геометрический смысл двойного интеграла.

Масса плоской пластинки

Требуется найти массу m плоской пластинки D, зная, что ее поверхностная плотность  = (х; у) есть непрерывная функция координат точки (х; у). Разобьем пластинку D на п элементарных частей площади которых обозначим через ∆ Si. В каждой области D; возьмем произвольную точку Мi(хi; уi) и вычислим плотность в ней:

Если области Di достаточно малы, то плотность в каждой точке (х; у) є Di мало отличается от значения  (xi; yi). Считая приближенно плотность в каждой точке области Di постоянной, равной  (xi; yi), можно найти ее массу Так как масса m всей пластинки D равна то для ее вычисления имеем приближенное равенство

Точное значение массы получим как предел суммы (7.5) при условии n -> ∞ и max di -> 0:

или, согласно равенству (7.2),

Итак, двойной интеграл от функции  (x; у) численно равен массе пластинки, если подынтегральную функцию  (х; у) считать плотностью этой пластинки в точке (х; у). В этом состоит физический смысл двойного интеграла.

7.3. Основные свойства двойного интеграла

Можно заметить, что процесс построения интеграла в области D дословно повторяет уже знакомую нам процедуру определения интеграла функции одной переменной на отрезке (см. Часть 1, п. 35). Аналогичны и свойства этих интегралов и их доказательства. Поэтому перечислимосновные свойства двойного интеграла, считая подынтегральные функции интегрируемыми.

1.

2.

3. Если область D разбить линией на две област и D1 и D2 такие, что а пересечение D1 и D состоит лишь из линии, их разделяющей (см. рис. 6), то

4.Если в области D имеет место неравенство ƒ (х; у) > =0, то и Если в области D функции ƒ (х; у) и  (х; у) удовлетворяютнеравенству

5.

6. Если функция ƒ (х; у) непрерывна в замкнутой области D, площадь которой S, то где m и М - соответственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции в области D.

7. Если функция ƒ (х; у) непрерывна в замкнутой области D, площадь которой S, то в этой области существует такая точка (хо; уо), что

S.

Величину называют средним значением функции ƒ (х; у) в области D.

7.4. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Покажем, что вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов.

Пусть требуется вычислить двойной интеграл где функция ƒ (х; у)> =0 непрерывна в области D. Тогда, как это было показано в п. 7.2, двойной интеграл выражает объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z=ƒ (х; у). Найдем этот объем, используя метод параллельных сечений. Ранее (см. Часть 1, (41.6)) было показано, что

где S(x) - площадь сечения плоскостью, перпендикулярной оси Ох, a x=a, x=b - уравнения плоскостей, ограничивающих данное тело.

Положим сначала, что область D представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную прямыми х=а и х=b и кривыми у= 1(x) и у= 2(х), причем функции  1(x) и  2(х) непрерывны и таковы, что  1(x) ≤  2(х) для всех х є [а; b] (см. рис. 7). Такая область называется правильной в направлении оси Оу: любая прямая, параллельная оси Оу, пересекает границу области не более чем в двух точках.

Построим сечение цилиндрического тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох: х =const, где х є [а; b].

В сечении получим криволинейную трапецию ABCD, ограниченную линиями z=ƒ (х; у), где х=const, z=0, у= 1(x) и у= 2(х) (см. рис. 8). Площадь S(х) этой трапеции находим с помощью определенного интеграла

Теперь, согласно методу параллельных сечений, искомый объем цилиндрического тела может быть найдентак:

С другой стороны, в п. 7.2 было доказано, что объем цилиндрического тела определяется как двойной интеграл от функции ƒ (х; у) > =0 по области D. Следовательно,

Это равенство обычно записывается в виде

Формула (7.7) представляет собой способ вычисления двойного интеграла в декартовых координатах. Правую часть формулы (7.7) называют двукратным (или повторным) интегралом от функции ƒ (х; у) по области D.

При этом называется внутренним интегралом.

Для вычисления двукратного интеграла сначала берем внутренний интеграл, считая х постоянным, затем берем внешний интеграл, т. е. результат первого интегрирования интегрируем по х в пределах от а до b.

Если же область D ограничена прямыми y=c и y=d(c< d), кривыми x=Ψ 1(у)и х=Ψ 2(у)> причем Ψ 1(у)≤ Ψ 2(у) для всех у є [с; d], т. е. область D - правильная в направлении оси Ох, то, рассекая тело плоскостью у=const, аналогично получим:

Здесь, при вычислении внутреннего интеграла, считаем у постоянным.

Замечания.

1. Формулы (7.7) и (7.8) справедливы и в случае, когда ƒ (х; у)< 0, (x; y) e D.

2. Если область D правильная в обоих направлениях, то двойной интеграл можно вычислять как по формуле (7.7), так и по формуле (7.8).

3. Если область D не является правильной ни «по х», ни «по у», то для сведения двойного интеграла к повторным ее следует разбить на части, правильные в направлении оси Ох или оси Оу.

4. Полезно помнить, что внешние пределы в двукратном интеграле всегда постоянны, а внутренние, как правило, переменные.

Пример 7.1. Вычислить где область D ограничена линиями у =x2, у=0, х+у-2=0.

Решение: На рисунке 9 изображена область интегрирования D. Она правильная в направлении оси Ох. Для вычисления данного двойного интеграла воспользуемся формулой (7.8):

Отметим, что для вычисления данного двойного интеграла можно воспользоваться формулой (7.7). Но для этого область D следует разбить на две области: D1 и D2. Получаем:

Теорема о среднем для двойного и тройного интегралов.

Теорема о среднем значении для двойного интеграла: Если функция f(P) непрерывна в ограниченной замкнутой области D, то найдется по крайней мере одна точка Pc в области D такая, что будет справедлива формула

,

где S– площадь области D.