Первообразная функция и ее свойства

Определение 1. Функция F (x) называется первообразной функции f(x), на некотором промежутке, если в каждой точке этого промежутка функция F (x) дифференцируема и выполняется равенство:

F ’(x) = f (x).

Пример 1. Функция F ’(x) = sin x является первообразной для функции f (x) = cos x на бесконечном промежутке (-¥; +¥), так как

F ’(x) = (sin x)’ = cos x = f (x) для x Î (-¥; +¥)

Нетрудно убедиться, что функция F ₁(x) = sin x +5 и F ₂(x) = sin x -10 также являются первообразными для функции f (x) = cos x на (-¥; +¥). То есть если для функции f (x) на некотором промежутке существует первообразная, то она не является единственной. Докажем, что множество всех первообразных для данной функции f (x) есть множество, которое задается формулой F (x) + C, где C – любая постоянная величина.

Теорема 1 (об общем виде первообразной).

Пусть F (x) – одна из первообразных для функции f (x) на интервале (a; b). Тогда любая другая первообразная для f (x) на (a; b) представима в виде

F (x)+C, где C – некоторое число.

Доказательство. Во-первых, проверим, что F (x)+C, где С – некоторое число, также является первообразной для f (x) на (a; b).

По условию теоремы F (x) на (a; b) является первообразной для f (x), поэтому выполняется равенство:

F ’(x) = f (x) при любом x Î (a; b).

Так как С – некоторое число, то

(F (x)+С)’ = F ’(x)+С’ = F ’(x)+0 = f (x).

Отсюда следует: (F (x)+С)’ = f (x) при любом x Î (a; b), а значит F (x)+С на (a; b) является первообразной для f (x).

Во-вторых, проверим, что если F (x) и Ф(x) – две первообразные для функции f (x) на (a; b), то они различаются между собой на постоянную величину, то есть F (x) – Ф(x) = const.

Обозначим j(x) = F (x) - Ф(x). Ток как по предположению функции F (x) и Ф(x) первообразные на (a; b) для f (x), то выполняются равенства: F ’(x) = f (x) и Ф’(x) = f (x) при любом x Î (a; b). Следовательно, j’(x) = F ’(x)-Ф’(x) = f (x)- f (x) = 0 при любом x Î (a; b).

Функция j(x) непрерывна и дифференцируема при x Î (a; b). Значит, на любом [ x ₁; x ₂] Ì (a; b) функция j(x) удовлетворяет теореме Лагранжа: существует точка Î (x ₁; x ₂) для которой выполняется равенство:

j(x ₂) - j(x ₁) = j’()× (x ₂- x ₁) = 0× (x ₂- x ₁) = 0.

Þ j(x 2) - j(x 1) = 0 Þ j(x 2) = j(x 1) Þ j(x) = const.

Значит, F (x) – Ф(x) = const.

Итак, получили, что если известна одна первообразная F (x) для функции f (x) на промежутке (a; b), то любая другая первообразная может быть представлена в виде F (x)+С, где С – постоянная величина. Этот вид первообразных носит название ее общего вида, при этом С –произвольная постоянная величина.