Интегрирование рациональных дробей

1) Разложение рациональной дроби на сумму простых дробей.

Определение 1. Рациональной дробью называется отношение двух многочленов:

Определение 2. Рациональная дробь называется правильной, если m< n. В противном случае (если m ³ n) она называется неправильной.

Определение 3. Простыми рациональными дробями называются дроби следующих четырех типов:

I .

II .

III

IV

Теорема 3. Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы целой части (многочлена) и правильной рациональной дроби.

Пример 20. Представить дробь в виде суммы целой части и правильной рациональной дроби.

Так как высшая степень числителя равна 4, а знаменателя – 2, то данная дробь неправильная (4 > 2). Разделим числитель на знаменатель:

Следовательно, дробь можно записать в виде:

.

Ответ: .

Теорема 4. Любую правильную рациональную дробь можно единственным образом представить в виде суммы конечного числа простых рациональных дробей.

Разложение правильной рациональной дроби (m< n) на сумму простых дробей выполняют по следующей схеме:

а) Найти корни многочлена Q_n (x) и представить его в виде произведения простых множителей:

,

Где ,

,

,

,

б) Записать разложение дроби с неопределенными коэффициентами:

в) Определить коэффициенты

суммарное число которых равно n, методом неопределенных коэффициентов.

Для этого необходимо все разложение привести к общему знаменателю и приравнять числитель полученной дроби P_m (x). Приравнивания в этих многочленах коэффициенты при одинаковых степенях x, получим систему из n линейных уравнений с n неизвестными. Эта система имеет единственное решение – интересующие нас коэффициенты.

Пример 21. Разложить дробь на сумму простых дробей.

1) Данная дробь правильная. Разложим знаменатель на множители:

.

2) Запишем разложение данной дроби на сумму простых дробей:

3) Для нахождения коэффициентов A, B и C приводим разложение к общему знаменателю и приравняем их числители.

Следовательно: