Взаимное расположение в пространстве двух прямых, прямой и плоскости

Пусть прямые l ₁ и l ₂ заданы каноническими уравнениями:

l ₁: l ₂: .

Направляющие векторы этих прямых соответственно будут:

Углом между прямыми называется угол между прямыми, проведенными параллельно данным через какую-нибудь точку пространства. Один из смежных углов, очевидно, будет равен углу между направлявшими векторами , который вычисляется по формуле (2.4):

Условия параллельности и перпендикулярности прямых совпадают, соответственно с условиями параллельности или перпендикулярности векторов .

Чтобы определить взаимное расположение прямых l ₁ и l ₂ и найти точку их пересечения (если они пересекаются), достаточно решить систему уравнений с тремя неизвестными:

Если эта система имеет единственное решение х ₀, у ₀, z ₀, то прямые пересекаются в точке М ₀(х ₀, у ₀, z ₀).

Если система имеет бесконечное множество решений, то прямые совпадают.

Если система не имеет решений, то прямые l ₁ и l ₂ не имеют общих точек, а потому либо параллельные, либо скрещивающиеся. Пусть заданы плоскость и прямая l:

, l:

Если система из этих трех линейных уравнений с тремя неизвестными х, у, z имеет единственное решение, то l и пересекаются; если система несовместна, то ; если система имеет бесконечное множество решений, то прямая l лежит в плоскости .

Условие параллельности l и совпадает с условием перпендикулярности векторов и , т.е.

Условие перпендикулярности l и будет выглядеть так:

(Убедитесь в этом!).

Пример 3.7. Выяснить взаимное расположение прямой l и плоскости , если они заданы уравнениями:

Решение. Запишем уравнения прямой l в параметрической форме:

(3.16)

1) Подставим эти выражения в уравнение плоскости , получим:

.

Решая это уравнение, получим t ₁ = 1. Подставим это значение в систему (3.16) получим , , . Следовательно, прямая и плоскость пересекаются в точке М ₁(3, 2, 7).

2) Подставим х, у, z из (3.16) в уравнение плоскости :

.

Получили противоречивое уравнение, значит, соответствующая система решенийне имеет, а поэтому .

3) Подставим х, у, z из системы (3.16) вуравнение плоскости :

,

отсюда видно, что параметр t может принимать любые значения, при этом соответствующая точка прямой l принадлежит плоскости . Значит, прямая l лежит в плоскости .