Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Уравнения прямой в пространстве




Прямую линию в пространстве можно задать как пересечение двух плоскостей. Рассмотрим систему двух уравнений:

. (3.14)

Каждое из уравнений определяет в пространстве плоскость. Если коэффициенты при переменныхx, у, z не пропорциональны, то эти плоскости пересекаются по некоторой прямой l. Координаты любой точки удовлетворяют системе (З.14) тогда и только тогда, когда точка лежит на прямой l. Поэтому уравнения (3.14) являются уравнениями прямой l и называются общими уравнениями прямой.

Итак, прямая в пространстве задается двумя линейными уравнениями.

Выведем другие виды уравнений прямой в пространстве.

Пусть задана точка М1(х1, у1, z1), лежащая на прямой l и ее направляющий вектор . Пусть M(x, y, z) произвольная точка прямой l, тогда векторы и коллинеарны и по формуле (2.6) получаем:

(3.15)

канонические уравнения прямой l (уравнения прямойпо точке и направляющему вектору). Из канонических уравнений, введя параметр t (коэффициент пропорциональности), который может принимать любые действительные значения:

получаем параметрические уравнения прямой l:

При изменении параметра t координаты точки М(х, у, z) изменяются и она перемещается по прямой l.

Заметим, что для прямой на плоскости можно вывести аналогичные параметрические уравнения:

Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки (уравнения прямой по двум точкам) М1(х1, у1, z1) и М2(х2, у2, z2), предлагается вывести самостоятельно, они имеет вид:

Рассмотрим переход от общих уравнений прямой к параметрическим.

Пусть прямая l задана уравнениями (3.14), т.е. является линией пересечения плоскостей и , которые имеют нормальные векторы:

= {A1, B1, C1} и = {A2, B2, C2}

(рис. 3.14). Запишем канонические уравнения прямой l. Для этого из системы (3.14) найдем одно решение (х1, у1, z1) – координаты точки М1(х1, у1, z1), лежащей на l (система (3.14) имеет бесконечное множество решений). Поскольку

,

поэтому вектор параллелен прямой l, следовательно, – направляющий вектор l. Координаты вектора найдем по формуле (2.10), вычислив векторное произведение:

Подставив найденные числа в уравнения (3.15), получим канонические уравнения прямой l.

Пример 3.6. Прямая l является пересечением плоскостей:

: 2ху + z – 4 = 0 и : х + у – 2z – 1 = 0.

Найти канонические уравнения прямой l.

Решение. 1) Решим систему уравнений:

получим тройку чисел (–1, 2, 0) – точку пересечения прямой l с координатой плоскостью 0ху.

2) Найдем направляющий вектор прямой l:

Подставляя полученные данные в уравнения (3.15), находим:

канонические уравнения прямой l.




mylektsii.ru - Мои Лекции - 2015-2018 год. (0.005 сек.)Пожаловаться на материал