Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Условная вероятность. Независимость




Определение 8.1.Условной вероятностью события В при условии А называется вероятность события В в предположении, что событие А наступило.

Обозначение: Р(В|A) = PA(B). Находится по формуле: Р(В|A)= (1).

Теорема 8.2. (умножение вероятностей)

Р(АВ)=Р(А)∙ Р(B|A)=P(B)∙P(A|B).

следует из формулы (1)

Теорема 8.3. (обобщённая теорема умножения вероятностей)

Р(А1 А2 …Аn)= Р(А1) Р(А2 | А1) Р(А3 | А1 А2) … Р(Аn | А1 А2 …Аn-1).

Р(А1 А2 … Аn-1 Аn) = Р(А1 А2 … Аn-1) Р(Аn | А1 А2 …Аn-1) =

=Р(А1 А2 … Аn-2)Р(Аn-11 А2 …Аn-2)Р(Аn1 А2 …Аn-1) = … =

= Р(А1) Р(А2 | А1) Р(А3 | А1 А2) … Р(Аn | А1 А2 …Аn-1).

 

Пример 8.4. Студент знает 20 вопросов из 25. Преподаватель задаёт 3 вопроса. Найти вероятность того, что студент знает все 3 вопроса.

Обозначим через А – студент знает все 3 вопроса, А1 знает первый вопрос, А2 – знает второй вопрос, А3 – знает третий вопрос.

А= А1 А2 А3, Р(А)=Р(А1 А2 А3)= Р(А1)Р(А2| А1) Р(А3| А1 А2)= <

Определение 8.5.События А и В называются независимыми, если Р(АВ)=Р(А)∙Р(B).

Свойство 8.6. События А и В независимы тогда и только тогда, когда Р(В|A)=P(B).

Пусть события А и В независимы, т.е. Р(АВ)=Р(А)∙Р(B), тогда Р(В|A)= = = Р(В).

Если Р(В|A)=P(B), то Р(В|A)= = Р(В), откуда Р(АВ)=Р(А)∙Р(B).

Определение 8.7.(независимости в совокупности) События А1, А2,…, Аn называются независимыми (или независимыми в совокупности), если:

1) Р(Аi Аj)= Р(Аi)Р(Аj), i j, i,j {1,2,…,n} – попарно независимы,

2) Р(Аi Аj Аk)= Р(Аi)Р(Аj) Р(Аk) , i j, j k, i,j,k {1,2,…,n} – независимы по три,

и т.д. ……

n-1) Р(А1 А2 … Аn)= Р(А1)Р(А2) … Р(Аn).

 

Замечание 8.8.Из попарной независимости не вытекает независимость в совокупности.


mylektsii.ru - Мои Лекции - 2015-2018 год. (0.005 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал