Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Формулы полной вероятности и Байеса




Теорема 9.1. (формула полной вероятности) Если события H1, H2,…, Hn образуют полную группу, то вероятность появления события А, которое может произойти совместно с любым из событий Hi, i {1,…,n}, находится по формуле:

Р(А)=Р(H1)P(A|H1) + … + Р(Hn)P(A|Hn) или Р(А)= .

Поскольку события образуют полную группу, то Ω= H1+H2+…+Hn. Событие А происходит только с одним из событий Hi, i {1,…,n}, поэтому A∙Ω=А= А∙H1+ А∙H2+…+ А∙Hn. По теореме сложения вероятностей Р(А)=Р(А∙H1)+…+Р(А∙Hn)=Р(H1)Р(А|H1)+…+Р(Hn)Р(А|H1)

Пример 9.2. Имеются две урны. В первой – 3 белых и 5 чёрных шаров, во второй – 4 белых и 3 чёрных. Из 1-й урны наудачу взят 1 шар и переложен во 2-ю урну. После этого из 2-й урны извлечён наудачу шар. Какова вероятность того, что он белый?

А – из 2-й урны извлечён белый шар,

H1 – из 1-й урны во 2-ю переложен белый шар,

H2 – из 1-й урны во 2-ю переложен чёрный шар, H1+ H2=Ω.

Р(А)=Р(H1)Р(А|H1)+Р(H2)Р(А| H2)= + =

Замечание 9.3. При применении формулы полной вероятности события H1, H2,…, Hn, образующие полную группу, называются гипотезами.

Теорема 9.4. (формула Байеса) Пусть события H1, H2,…, Hn образуют полную группу, А – некоторое событие, которое может произойти совместно с любым из событий Hi, i {1,…,n}, тогда условная вероятность:

Р(Hj|А) = , j {1,2,…,n}.

Р(Hj|А) = = = .

Пример 9.5.Рассмотрим предыдущий пример с учётом того, что из 2-й урны вынули белый шар. Найти вероятность того, что из 1-й урны во 2-ю переложили белый шар.

Р(H1|А) = = = = .

Замечание 9.6. В формуле Байеса вероятности Р(Hi), i {1,…,n} называются априорными вероятностями гипотез.Вероятности Р(Hi|A), i {1,…,n} называются апостериорными вероятностями гипотез.

 


mylektsii.ru - Мои Лекции - 2015-2018 год. (0.006 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал