Введение. Цель работы: изучить затухающие колебания, определить коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания.

ИЗУЧЕНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ

Цель работы: изучить затухающие колебания, определить коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания.

Оборудование: физический маятник, секундомер.

Введение

Если маятник вывести из положения равновесия и отпустить, то он будет совершать свободные колебания под действием возвращающей силы. При малых колебаниях возвращающую силу можно считать пропорциональной смещению маятника . Здесь – коэффициент упругости.

Собственные колебания являются затухающими, т.е. их амплитуда со временем уменьшается. Это обусловлено действием сил сопротивления движению. Примем, что сила сопротивления пропорциональна скорости тела: . Так бывает при движении тел с малой скоростью в жидкости или газе.

Тогда уравнение движения маятника, полученное из второго закона Ньютона, будет иметь вид

, (1)

или, обозначив и , получим:

. (2)

Решением этого дифференциального уравнения является функция

. (3)

Это уравнение затухающих колебаний. Здесь – коэффициент затухания, – циклическая частота затухающих колебаний, которая при малом затухании близка к частоте незатухающих колебаний.

Выражение перед функцией синуса имеет смысл амплитуды затухающих колебаний:

. (4)

Со временем амплитуда затухающих колебаний уменьшается по экспоненциальному закону (рис. 1).

Для характеристики колебательной системы, у которой происходят затухающие колебания, используют несколько параметров. Во-первых, коэффициент затухания , который характеризует уменьшение амплитуды колебаний со временем. За время , называемое временем релаксации, амплитуда, как видно из (4), уменьшается в = 2, 71828 раза.

Другим параметром затухания является логарифмический декремент затухания, который, по определению, равен натуральному логарифму отношения амплитуды некоторого колебания к амплитуде последующего:

. (5)

Если подставить в это отношение амплитуды двух следующих друг за другом колебаний (4), то получим

, (6)

где – период колебаний.

Уравнение для амплитуды (4) можно переписать как функцию числа колебаний при :

, (7)

так как – это число колебаний. Логарифмический декремент затухания характеризует затухание в зависимости от числа совершенных колебаний. За число колебаний амплитуда уменьшается в = 2, 71828 раза.