Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Пусть задана гладкая функция двух переменных . Графиком этой функции является некоторая поверхность . Зафиксируем на точку и проведем через нее сечения двумя плоскостями. Полученные при этом на поверхности кривые – очевидно гладкие, значит, через точку можно провести касательные к ним и . Прямые определяют плоскость, которая называется касательной плоскостью к поверхности в точке .

Прямая, проходящая через точку и перпендикулярная касательной плоскости, построенной в этой точке, называется нормалью к поверхности.

Выведем уравнения касательной плоскости КП и нормали Н.

Введем вспомогательную функцию трех переменных . Поверхностью уровня данной функции является поверхность . Известно, что вектор направлен по нормали к поверхности уровня, т.е. в частности, в точке , где – по нормали к .

С учетом фактов:

1. функция – гладкая, т.е. имеет непрерывные частные производные в точке ,

2. вектор направлен по нормали к ,

3. уравнение плоскости по точке и нормали имеет вид ,

4. уравнение прямой по точке и направляющему вектору имеет вид ,

получим искомые уравнения