Оценка стоимости денег во времени

Оценка стоимости денег по простым %

1. При расчете суммы простого % в процессе наращения стоимости (компаудинга) используется формула: I = P x n x i,

Где I – сумма % за обусловленный период времени в целом;

P – первоначальная сумма (стоимость) денежных средств;

n – количество интервалов по которым осуществляется расчет % платежей, в общем обусловленном периоде времени;

i - используемая % ставка, выраженная десятичной дробью.

В этом случае будущая стоимость вклада (S) с учетом начисленной суммы % определяется по формуле:

S = P + I = P x (1 + ni)

Пример: Определить сумму простого % за год при следующих условиях: первоначальная сумма вклада – 1000 ден. ед.; % ставка, выплачиваемая ежеквартально 20%. Сумма %: I = 1000 х 4 х 0.2 = 800

Будущая стоимость вклада: S = 1000 + 800 = 1800

Множитель (1 + ni) называется множителем (или коэффициентом) наращения суммы простых %. Его значение всегда должно быть больше 1.

При расчете суммы простого % в процессе дисконтирования стоимости (т.е. суммы дисконта): D = S – S x 1/ 1 + ni,

D – сумма дисконта (рассчитанная по простым %) за обусловленный период времени в целом;

S – стоимость денежных средств;

n – количество интервалов, по которым осуществляется расчет % платежей, в общем обусловленном периоде времени;

i – используемая дисконтная ставка, выраженная десятичной дробью.

Настоящая стоимость денежных средств (Р) с учетом рассчитанной суммы дисконта определяется:

Р = S – D = S x (1 / 1 + ni)

Пример: Определить сумму дисконта по простому % за год при следующих условиях: конечная сумма вклада определена в размере 1000 ден. ед.; дисконтная ставка 20% в квартал

D = 1000 – 1000 (1 / 1 + 4 х 0.2) = 444

Настоящая стоимость вклада, необходимого для получения через год 1000 ден ед. должна составить

Р = 1000 – 444 = 556 ден ед.

Множитель 1 / 1 + ni называется дисконтным множителем (коэффициентом) суммы простых %, значение которого всегда должно быть меньше 1.

Оценка стоимости денег по сложным %

1. При расчете общей суммы вклада (стоимости денежных средств) в процессе его наращения

S_c = P x (1 + i)ⁿ,

S_c – будущая стоимость вклада (денежных средств) при его наращивании по сложным %;

P – первоначальная сумма вклада;

i - используемая дисконтная ставка, выраженная десятичной дробью;

n - количество интервалов, по которым осуществляется расчет % платежей, в общем обусловленном периоде времени.

Сумма % (I_c) определяется

I_c = S_c – P.

Пример: Необходимо определить будущую стоимость вклада и сумму сложного % за весь период инвестирования при следующих условиях: первоначальная стоимость вклада 1000; % ставка 20% в квартал; общий период инвестирования 1 год.

Будущая стоимость вклада = 1000 х (1 + 0.2)⁴ = 2074

Сумма % = 2074 – 1000 = 1074

2. При расчете настоящей стоимости денежных средств в процессе дисконтирования по сложным %:

P_c = S / (1 + i)ⁿ,

P_c – первоначальная сумма вклада;

S – будущая стоимость вклада при его наращивании, обусловленная условиями инвестирования;

i – используемая дисконтная ставка, выраженная десятичной дробью;

n - количество интервалов, по которым осуществляется каждый % платеж, в общем обусловленном периоде времени.

Сумма дисконта (D_c) определяется:

D_c = S – P_c

Пример: определить настоящую стоимость денежных средств и сумму дисконта по сложным % за год при следующих условиях: будущая стоимость денежных средств 1000; используемая для дисконтирования ставка сложного % 20% в квартал.

Настоящая стоимость = 1000 / (1 + 0.2)⁴ = 482

Сумма дисконта = 1000 – 482 = 518

3. При определении средней % ставки, используемой в расчетах стоимости денежных средств по сложным %:

i = (S_c / P_c)^1/n – 1,

i – средняя % ставка, используемая в расчетах стоимости денежных средств по сложным %, выраженная десятичной дробью;

S_c – будущая стоимость денежных средств;

P_c – настоящая стоимость денежных средств;

n – количество интервалов, по которым осуществляется каждый % платеж, в общем обусловленном периоде времени.

Пример: Определить годовую ставку доходности облигации: номинал облигации, подлежащий погашению через три года 1000; цена, по которой облигация реализуется в момент ее эмиссии 600

Годовая ставка доходности = (1000 / 600)^1/3 – 1 = 1.666^1/3 – 1 = 0.186 (18.6%)

4. Длительность общего периода платежей, выраженная количеством его интервалов, в расчетах стоимости денежных средств по сложным % определяется путем логарифмирования:

n = log (S_c / P_c) / log (1 + i),

S_c – будущая стоимость денежных средств;

P_c – настоящая стоимость денежных средств;

i – используемая % ставка, выраженная десятичной дробью.

Определение эффективной % ставки в процессе наращивания стоимости денежных средств по сложным %:

i_э = (1 + i / n)ⁿ – 1,

i_э – эффективная среднегодовая % ставка при наращивании стоимости денежных средств по сложным %, выраженная десятичной дробью;

i – периодическая % ставка, используемая при наращении стоимости денежных средств по сложным %, выраженная десятичной дробью;

n – количество интервалов, по которым осуществляется каждый % платеж по периодической % ставке на протяжении года.

Пример: Определить эффективную среднегодовую % ставку: денежная сумма 1000 помещена в коммерческий банк на депозит сроком на 2 года; годовая процентная ставка, по которой ежеквартально осуществляется начисление %, составляет 10% (0.1)

i_э = (1 + 0.1/4)⁴ – 1 = (1 + 0.025)⁴ – 1 = 0.1038 (10.38%)

результаты расчетов показывают, что условия помещения денежной суммы сроком на 2 года под 10% годовых при ежеквартальном начислении %, равнозначны условиям начисления этих % один раз в год под 10.38% годовых (10.38% составляет размер эффективной или сравнимой % ставки).

При оценке стоимости денег во времени по сложным % необходимо иметь в виду, что на результат оценки оказывает большое влияние не только используемая ставка %, но и число интервалов выплат в течение одного и того же общего платежного периода. Иногда оказывается более выгодным инвестировать деньги под меньшую ставку %, но с большим числом интервалов в течение предусмотренного периода платежа.

Пример: Перед инвестором стоит задача разместить 100 ден. ед. на депозитный вклад сроком на один год. Один банк предлагает инвестору выплачивать доход по сложным % в размере 23% в квартал; второй в размере 30% один раз в четыре месяца; третий в размере 45% два раза в году; четвертый в размере 100% один раз в году. Для определения варианта инвестирования:

Расчет будущей стоимости вклада

при различных условиях инвестирования

Сравнение вариантов показывает, что наиболее эффективным является 1-й вариант (выплата доходов в размере 23% один раз в квартал).

Используемые в процессе оценки стоимости денег множители (1 + i)ⁿ и (1 / (1 + i)ⁿ) называются соответственно множителем наращения и множителем дисконтирования суммы сложных %. Они положены в основу специальных таблиц финансовых вычислений, с помощью которых при заданных размерах ставки % и количества платежных интервалов можно легко вычислить настоящую или будущую стоимость денежных средств по сложным %.

Оценка стоимости денег при аннуитете

Расчеты связаны с использованием наиболее сложных алгоритмов и определением метода начисления % - предварительным (пренумерандо) или последующем (постнумерандо).

1. При расчете будущей стоимости аннуитета на условиях предварительных платежей (пренумерандо):

SA_pre = R x [(1 + i)ⁿ – 1 / i] x (1 +i),

SA_pre – будущая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей (пренумерандо);

R – член аннуитета, характеризующий размер отдельного платежа;

i – используемая % ставка, выраженная десятичной дробью;

n – количество интервалов, по которым осуществляется каждый платеж, в общем обусловленном периоде времени.

Пример: Необходимо рассчитать будущую стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей (пренумерандо), при следующих данных: период платежей по аннуитету предусмотрен в количестве 5 лет; интервал платежей по аннуитету составляет один год (платежи вносятся в начале года); сумма каждого отдельного платежа (члена аннуитета) составляет 1000 ден. ед.; используемая для наращивания стоимости % ставка составляет 10% в год (0.1).

Будущая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей (пренумерандо) = 1000 х (1 + 0.1)⁵ – 1 / 0.1 х (1 + 0.1) = 6716 ден. ед.

2. При расчете будущей стоимости аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо):

SA_post =R x [ (1 + i)ⁿ – 1 / i]

SA_post – будущая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо);

R – член аннуитета, характеризующий размер отдельного платежа;

i – используемая % ставка, выраженная десятичной %;

n – количество интервалов, по которым осуществляется каждый платеж, в общем обусловленном периоде времени.

Пример: рассчитать будущую стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо), по данным, изложенным в предыдущем примере (при условии взноса платежей в конце года):

Будущая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо) = 1000 х (1 + 0.1)⁵ – 1 / 0.1 = 6105 ден. ед.

Сопоставление результатов расчета по двум примерам показывает, что будущая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей, т.е. в первом случае плательщику обеспечена гораздо большая сумма дохода.

3. При расчете настоящей стоимости аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей (пренумерандо):

PA_pre = R x [(1+ i)^-n / i] x (1 + i),

PA_pre – настоящая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей (пронумерандо);

R – член аннуитета, характеризующий размер отдельного платежа;

i – используемая % (дисконтная) ставка, выраженная десятичной дробью;

n – количество интервалов, по которым осуществляется каждый платеж, в общем обусловленном периоде времени.

Пример: Необходимо рассчитать настоящую стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей (пренумерандо): период платежей по аннуитету предусмотрен в количестве 5 лет; интервал платежей по аннуитету составляет один год (при внесении платежей в начале года); сумма каждого отдельного платежа (члена аннуитета) составляет 1000 ден. ед.; используемая для дисконтирования стоимости ставка % (дисконтная ставка) составляет 10% в год (0.1).

Настоящая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей (пренумерандо) = 1000 х 1 – (1+0.1)^-5 / 0.1 х (1 + 0.1) = 4169 ден. ед.

4. При расчете настоящей стоимости аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо):

PA_post = R x 1 – {(1 +i)^-n / i},

PA_post – настоящая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо);

R – член аннуитета, характеризующий размер отдельного платежа;

i – используемая % ставка (дисконтная) ставка, выраженная десятичной дробью;

n – количество интервалов, по которым осуществляется каждый платеж, в общем обусловленном периоде времени.

Пример: рассчитать настоящую стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо), по данным, изложенным в предыдущем примере (при условии взноса платежей в конце года).

Настоящая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо) = 1000 х 1 – (1 + 0.1)^-5 / 0.1 = 3790 ден. ед.

Сопоставление результатов расчета по двум последним примерам показывает, что настоящая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей, существенно превышает настоящую стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей, т.е. в первом случае в процессе дисконтирования плательщику гарантированна гораздо большая сумма дохода в настоящей стоимости.

5. При расчете размера отдельного платежа при заданной будущей стоимости аннуитета:

R = SA_post x {i / (1 + i)ⁿ – 1},

R – размер отдельного платежа по аннуитету (член аннуитета при предопределееной будущей его стоимости);

SA_post – будущая стоимость аннуитета (осуществляемого на условиях последующих платежей);

i – используемая % ставка, выраженная десятичной дробью;

n – количество интервалов, по которым намечается осуществлять каждый платеж, в обусловленном периоде времени.

6. При расчете размера отдельного платежа при заданной текущей стоимости аннуитета:

R = PA_post x {i x (1 = i)ⁿ / 1 – (1 + i)ⁿ},

R – размер отдельного платежа по аннуитету (член аннуитета при известной текущей его стоимости);

PA_post – настоящая стоимость аннуитета (осуществляемого на условиях последующих платежей);

i - используемая % ставка, выраженная десятичной дробью;

n – количество интервалов, по которым намечается осуществлять каждый платеж, в обусловленном периоде времени.

В процессе расчета аннуитета возможно использование упрощенных формул, основу которых составляет только член аннуитет (размер отдельного платежа) и соответствующий стандартный множитель (коэффициент) его наращивания или дисконтирования.

В этом случае для определения будущей стоимости аннуитета (осуществляемого на условиях последующих платежей), имеет вид

SA_post = R x I_A,

SA_post – будущая стоимость аннуитета (осуществляемого на условиях последующих платежей);

R – член аннуитета, характеризующий размер отдельного платежа;

I_A – множитель наращения стоимости аннуитета, определяемый по специальным таблицам, с учетом принятой % ставки и количества интервалов в периоде платежей.

Для определения настоящей стоимости аннуитета: PA_post = R x D_A

PA_post – настоящая стоимость аннуитета (осуществляемого на условиях последующих платежей);

R – член аннуитета характеризующий размер отдельного платежа;

D_A – дисконтный множитель аннуитета, определяемый по специальным таблицам, с учетом принятой % (дисконтной) ставки и количества интервалов в периоде платежей.