Типический отбор

Задача 1. В трех районах 30 тыс. семей. В первом районе - 15 тыс.; во втором - 12 тыс. и в третьем - 3 тыс. семей. Для определения числа детей в семье была проведена 10%-я типическая выборка с отбором единиц пропорционально численности единиц типических групп. Внутри групп семьи отбирались способом случайного бесповторного отбора. Результаты выборочного обследования семей в трех районах представлены в таблице.

С вероятностью 0, 95 определите границы доверительного интервала среднего числа детей в семье в трех районах.

Решение. По условию задачи выборочное обследование проведено с помощью типического пропорционального отбора. Объем выборки n = 3000 семей, т.е. выборка - большая.

Найдем границы доверительного интервала среднего числа детей в семье в трех районах, т.е. границы доверительного интервала для генеральной средней.

По условию: n = 3000; N = 30000; g = 0, 95.

Используем формулу:

.

где – средняя из групповых дисперсий выборочной средней;

n –объем выборочной совокупности по всем типическим группам (районам);

N – численность генеральной совокупности (число семей во всех районах).

Объем выборки в каждой типической группе (районе) n_j:

где N_j - число семей в j - м районе;

Найдем число семей, выбранных для обследования в каждом районе при условии, что объем выборочной совокупности n по трем районам составляет 3000 семей:

семей;

семей;

семей.

Найдем среднее число детей в семье по трем районам в выборочной совокупности (выборочная средняя) с учетом численности отобранных групп:

чел.

Найдем среднюю из групповых дисперсий:

Найдем t из соотношения 2F₀(t) = g:

2F₀(t) = 0, 95;

По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем, при каком t F₀(t) = 0, 475.

F₀(t) = 0, 95 / 2 = 0, 475;

F₀(1, 96) = 0, 475.

Следовательно, t = 1, 96.

Найдем предельную ошибку выборки:

;

.

;

;

.

Ответ. С вероятностью 0, 95 можно ожидать, что среднее число детей в семье в трех районах находится в интервале от 1, 3888 до 1, 5112 чел.

Задача 2. Для выявления причин простоев был проведен хронометраж рабочего дня 10% рабочих четырех различных цехов. Отбор рабочих внутри цехов производился с помощью собственно-случайного бесповторного отбора. В результате анализа выборочных данных была выявлена доля простоев из-за несвоевременного поступления комплектующих изделий:

С вероятностью 0, 95 определить границы доверительного интервала доли простоев на предприятии из-за несвоевременного поступления комплектующих изделий.

Решение.

По условию задачи выборочное обследование проведено с помощью типического пропорционального отбора.

Объем выборки n = 100 чел., т.е. выборка - большая.

Найдем границы доверительного интервала доли простоев на предприятии из-за несвоевременного поступления комплектующих изделий.

По условию: n = 100; N = 1000; g = 0, 95.

Используем формулу:

.

где – средняя из групповых дисперсий выборочной доли.

Найдем среднюю выборочную долю простоев из-за несвоевременного поступления комплектующих изделий в четырех цехах:

.

Дисперсия выборочной доли в i -й типической группе определяется по формуле

Для первого цеха она составит:

для второго -

для третьего -

для четвертого -

Найдем среднюю из групповых дисперсий выборочной доли:

Найдем t из соотношения 2F₀(t) = g:

2F₀(t) = 0, 95;

По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем, при каком t F₀(t) = 0, 475.

F₀(t) = 0, 95 / 2 = 0, 475;

F₀(1, 96) = 0, 475.

Следовательно, t = 1, 96.

Найдем предельную ошибку выборки:

.

Предельная ошибка выборочной доли

;

;

.

Ответ. С вероятностью 0, 95 можно ожидать, что доля простоев из-за несвоевременного поступления комплектующих изделий находится в интервале от 0, 0254 до 0, 1206.

Задача 3. В трех населенных пунктах 10 тыс. семей. В первом - 5 тыс.; во втором - 1 тыс.; в третьем - 4 тыс. семей. Для определения среднего размера семьи в трех населенных пунктах проектируется типическая выборка, пропорциональная объему групп, со случайным бесповторным отбором внутри типических групп.

Определить объем выборки (количество семей), чтобы с вероятностью 0, 987 ошибка выборки при определении среднего размера семьи не превышала 0, 5 человека, если на основе предыдущих обследований известно, что средняя из групповых дисперсий размера семьи равна 9.

Решение.

Дано: D_x = 0, 5; = 9; g = 0, 987; N=10000.

Задача 4. Для выявления причин простоев 1000 рабочих предприятия необходимо провести типическую выборку по различным цехам.

Определить количество рабочих, которое необходимо обследовать, чтобы с вероятностью 0, 99 предельная ошибка выборки при оценивании доли целодневных простоев не превысила 5%, если на основе предыдущих исследований известно, что средняя из групповых дисперсий доли целодневных простоев составляет 0, 16.

Решение.

Дано:

D_w = 0, 05; = 0, 16; g = 0, 99; N = 1000.

Воспользуемся формулой расчета необходимой численности выборки для доли для типического бесповторного отбора, пропорционального объему групп:

.

Найдем t из соотношения 2F₀(t) = g:

2F₀(t) = 0, 99;

F₀(t) = 0, 99 / 2 = 0, 495.

По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем при каком t F₀(t) = 0, 495.

F₀(2, 58) = 0, 495.

Следовательно, t = 2, 58.

Рассчитаем необходимую численность выборки:

чел.

Так как n - целое число, а также, учитывая необходимость не превысить заданную ошибку, округлим полученный результат до большего целого.

Следовательно, n» 299.

Ответ. Для того чтобы с вероятностью 0, 99 и предельной ошибкой 0, 05 с помощью типического бесповторного отбора, пропорционального объему групп, определить искомую долю целодневных простоев, необходимо обследовать не менее 299 чел.

Задача 5. На предприятии работает 1000 рабочих, из них в возрасте до 30 лет - 400 человек, свыше 30 лет - 600 человек. Для изучения среднедневной выработки и установления доли мужчин проведена 10%-я типическая выборка с отбором единиц пропорционально численности рабочих по указанным группам (внутри групп применялся собственно-случайный способ отбора). На основе обследования получены следующие данные:

Группы рабочих по возрасту, лет	Общая численность рабочих Nj, чел.	Число обследованных рабочих nj, чел.	Среднедневная выработка , шт.	Дисперсия выработки,	Число мужчин в выборке mj, чел.	Доля мужчин в выборке,
Моложе 30 лет 30 лет и старше						0, 8   0, 9
Итого			-	-	-	-

Определить:

- предельную ошибку выборки и границы доверительного интервала, в которых с вероятностью 0, 954 будет находиться среднедневная выработка всех рабочих предприятия;

- предельную ошибку выборки и границы доверительного интервала, в которых с вероятностью 0, 954 будет находиться удельный вес мужчин в общей численности рабочих предприятия.

Решение.

Стандартная (средняя) ошибка выборочной средней при типическом бесповторном отборе определяется по формуле:

Найдем среднюю из групповых дисперсий для оценки средней:

Найдем стандартную (среднюю) ошибку оценки среднедневной выработки рабочих:

шт.

Найдем t из соотношения 2F₀(t) = g:

2F₀(t) = 0, 954;

F₀(t) = 0, 954 / 2 = 0, 477;

По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем при каком t F₀(t) = 0, 477.

F₀(2, 0) = 0, 477.

Следовательно, t = 2, 0.

Найдем предельную ошибку оценки среднедневной выработки рабочих:

шт.

Рассчитаем среднедневная выработка рабочих в выборочной совокупности:

шт.

Найдем границы доверительного интервала, в которых с вероятностью 0, 954 будет находиться среднедневная выработка всех рабочих предприятия:

;

;

.

Стандартная (средняя) ошибка выборочной доли при типическом бесповторном отборе определяется по формуле:

Найдем среднюю из групповых дисперсий выборочной доли . Она рассчитывается следующим образом:

Расчет представлен в таблице:

Группы рабочих по возрасту, лет	Число рабочих nj , чел.	Доля мужчин	Доля женщин	Дисперсия доли
Моложе 30 лет 30 лет и старше		0, 8   0, 9	0, 2   0, 1	0, 16   0, 09	6, 4   5, 4
Итого					11, 8

Отсюда:

Найдем стандартную (среднюю) ошибку оценки доли мужчин в общей численности рабочих предприятия:

.

Найдем предельную ошибку оценки доли мужчин в общей численности рабочих предприятия:

.

Найдем среднюю долю мужчин в выборочной совокупности:

.

Найдем границы доверительного интервала, в которых с вероятностью 0, 954 будет находиться доля мужчин в общей численности рабочих предприятия:

;

;

.

Ответ. С вероятностью 0, 954 можно ожидать, что среднедневная выработка всех рабочих предприятия находится в интервале от 26, 4036 до 29, 5964 шт.

С вероятностью 0, 954 можно ожидать, что удельный вес мужчин в общей численности рабочих предприятия находится в интервале от 0, 7948 до 0, 9252.

Содержание контрольной работы