Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Собственно-случайный и механический отбор
|
|
Задача 1. С помощью собственно-случайного повторного отбора руководство фирмы провело выборочное обследование 900 своих служащих. Средний стаж их работы в фирме равен 8, 7 года, а среднее квадратическое (стандартное) отклонение - 2, 7 года. Среди обследованных оказалось 270 женщин. Считая стаж работы служащих фирмы распределённым по нормальному закону, определите:
а) с вероятностью 0, 95 доверительный интервал, в котором окажется средний стаж работы всех служащих фирмы;
б) с вероятностью 0, 90 доверительный интервал, накрывающий неизвестную долю женщин во всем коллективе фирмы.
Решение. По условию задачи выборочное обследование проведено с помощью собственно-случайного повторного отбора. Объем выборки n = 900 единиц, т.е. выборка - большая.
а) Найдем границы доверительного интервала среднего стажа работы всего коллектива фирмы, т.е. границы доверительного интервала для генеральной средней.
По условию: 
= 8, 7; s = 2, 7; n = 900; g = 0, 95.
Используем формулу:
Найдем t из соотношения 2F0(t) = g:
2F0(t) = 0, 95;
По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем, при каком t F0(t) = 0, 475.
F0(t) = 0, 95 / 2 = 0, 475;
F0(1, 96) = 0, 475.
Следовательно, t = 1, 96.
Найдем предельную ошибку выборки:
;
.
;
;
.
С вероятностью 0, 95 можно ожидать, что средний стаж работы всего коллектива фирмы находится в интервале от 8, 5236 до 8, 8764 года.
б) Теперь оценим истинное значение доли женщин во всем коллективе фирмы.
По условию: m = 270; n = 900; g = 0, 9.
Выборочная доля 
Рассмотрим формулу:
.
Найдем t из соотношения 2F0(t) = g:
2F0(t) = 0, 9;
F0(t) = 0, 9 / 2 = 0, 45.
По таблице функции Лапласа (приложение 2) определим при каком t F0(t) = 0, 45.
F0(1, 64) = 0, 45.
Следовательно, t = 1, 64.
Предельная ошибка выборки определяется по формуле:
;
.
;
;
.
Итак, с вероятностью 0, 9 можно ожидать, что доля женщин во всем коллективе фирмы находится в интервале от 0, 2749 до 0, 3251.
Ответ. Можно ожидать, что с вероятностью 0, 95, средний стаж работы всех служащих фирмы находится в интервале от 8, 5236 до 8, 8764 года. С вероятностью 0, 90 можно гарантировать, что доля женщин во всем коллективе фирмы находится в интервале от 0, 2749 до 0, 3251.
Задача 2. Изменим условие задачи 1.
а) С помощью собственно-случайного повторного отбора определяется средний стаж работы служащих фирмы. Предполагается, что он подчиняется нормальному закону. Каким должен быть объем выборки, чтобы с доверительной вероятностью 0, 95 можно было утверждать, что, принимая полученный средний стаж работы за истинный, совершается погрешность, не превышающая 0, 5 года, если стандартное отклонение s равно 2, 7 года?
б) Каким должен быть объем собственно-случайной повторной выборки, чтобы с надежностью 0, 90 можно было утверждать, что максимальное отклонение выборочной доли женщин в выборке от доли женщин во всем коллективе фирмы не превышало 0, 05, если в прошлом аналогичном обследовании выборочная доля женщин оказалась равной 0, 3?
Решение. В данной задаче нужно найти необходимую численность выборки. Расчет необходимой численности выборки дает ответ на вопрос: «Сколько нужно обследовать единиц совокупности, чтобы с заранее заданной вероятностью не превысить заранее заданную ошибку?»
а) Дано: Dx = 0, 5; s = 2, 7; g = 0, 95.
По условию задачи требуется найти необходимую численность выборки для средней при повторном отборе.
Воспользуемся формулой расчета необходимой численности выборки для средней для собственно-случайного повторного отбора:
.
Неизвестное значение t найдем из соотношения 2F0(t) = g:
2F0(t) = 0, 95;
F0(t) = 0, 95 / 2 = 0, 475;
По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем при каком t F0(t) = 0, 475.
F0(1, 96) = 0, 475.
Следовательно, t = 1, 96.
Рассчитаем необходимую численность выборки:
.
Так как n - целое число, а также, учитывая необходимость не превысить заданную ошибку, округлим полученный результат до большего целого.
Следовательно, необходимо обследовать не менее 113 служащих.
Ответ. Чтобы с вероятностью 0, 95 и Dx= 0, 5 года с помощью собственно-случайного повторного отбора определить средний стаж работы в фирме, необходимо обследовать не менее 113 служащих.
б) Дано: Dw = 0, 05; w = 0, 3; g = 0, 9.
По условию задачи требуется найти необходимую численность выборки для доли для собственно-случайного повторного отбора.
Воспользуемся формулой расчета необходимой численности выборки для доли для собственно-случайного повторного отбора:
.
Найдем t из соотношения 2F0(t) = g:
2F0(t) = 0, 9;
F0(t) = 0, 9 / 2 = 0, 45.
По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем при каком t F0(t) = 0, 45.
F0(1, 64) = 0, 45.
Следовательно, t = 1, 64.
Рассчитаем необходимую численность выборки:
.
Так как n - целое число, а также, учитывая необходимость не превысить заданную ошибку, округлим полученный результат до большего целого.
Следовательно, n» 226.
Ответ. Чтобы с вероятностью 0, 9 и ошибкой 
0, 05 с помощью собственно-случайного повторного отбора определить долю женщин во всем коллективе фирмы, необходимо обследовать не менее 226 служащих.
Задача 3. Владелец автостоянки опасается обмана со стороны своих служащих (охраны автостоянки). В течение года (365 дней) владельцем автостоянки проведено 40 проверок. По данным проверок среднее число автомобилей, оставляемых на ночь на охрану, составило 400 единиц, а среднее квадратическое (стандартное) отклонение их числа - 10 автомобилей.
а) Считая отбор собственно-случайным, с вероятностью 0, 99 оцените с помощью доверительного интервала истинное среднее число автомобилей, оставляемых на ночь на охрану. Обоснованны ли опасения владельца автостоянки, если по отчетности охранников среднее число автомобилей, оставляемых на ночь на стоянку, составляет 395 автомобилей?
Решение. По условию задачи выборочное обследование проведено с помощью собственно-случайного отбора. Очевидно, что отбор - бесповторный, т.к. не имеет смысла производить проверку более 1 раза в сутки. Объем выборки n = 40, что больше 30 единиц, т.е. выборка - большая. Объём генеральной совокупности N==365.
а) Найдем границы доверительного интервала для оценки среднего числа автомобилей, оставляемых на ночь на охрану, т.е. границы доверительного интервала для генеральной средней.
По условию: 
= 400; s = 10; n = 40; g = 0, 99; N=365
Используем формулу:
.
Найдем t из соотношения 2F0(t) = g:
2F0(t) = 0, 99;
F0(t) = 0, 99 / 2 = 0, 495;
По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем при каком t
F0(t) = 0, 495.
F0(2, 58) = 0, 495.
Следовательно, t = 2, 58.
Найдем предельную ошибку выборки:
;
.
;
;
.
Ответ. С уверенностью в 99% можно ожидать, что среднее число автомобилей, оставляемых на ночь на охрану, находится в интервале от 396 до 404. Таким образом, можно утверждать, что служащие автостоянки обманывают ее владельца.
Задача 4. В 24-х из 40 проверок число автомобилей на автостоянке не превышало 400 единиц.
С вероятностью 0, 98 найдите доверительный интервал для оценки истинной доли дней в течение года, когда число оставляемых на стоянку автомобилей не превышало 400 единиц.
Решение. Определим границы доверительного интервала для доли дней в течение года, когда число оставляемых на стоянку автомобилей не превышало 400 единиц.
По условию: m = 24; n = 40; g = 0, 98.
Выборочная доля 
Так как 
,
то найдем t из соотношения 2F0(t) = g:
2F0(t) = 0, 98;
F0(t) = 0, 98 / 2 = 0, 49.
По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем при каком t F0(t) = 0, 49.
F0(2, 33) = 0, 49.
Следовательно, t = 2, 33.
Найдем предельную ошибку выборки:
;
;
;
.
Ответ. С вероятностью 0, 98 можно ожидать, что доля дней в течение года, когда число оставляемых на стоянку автомобилей не превышало 400 единиц, находится в интервале от 0, 4297 до 0, 7703.
Задача 5. Изменим условие задачи 3.
С помощью собственно-случайного бесповторного отбора определяется среднее число автомобилей, оставляемых на ночь на охрану. Предполагается, что оно подчиняется нормальному закону. Каким должен быть объём выборки, чтобы с вероятностью 0, 95 можно было утверждать, что, принимая полученное среднее число автомобилей по выборке за истинное, совершается погрешность, не превышающая 3 автомобилей, если среднее квадратическое отклонение s равно 10 автомобилям?
Решение. Дано: Dx = 3; s = 10; g = 0, 95; N=365.
Воспользуемся формулой расчета необходимой численности выборки для средней для собственно-случайного бесповторного отбора:
.
Найдем t из соотношения 2F0(t) = g:
2F0(t) = 0, 95;
F0(t) = 0, 95 / 2 = 0, 475;
По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем при каком t F0(t) = 0, 475.
F0(1, 96) = 0, 475.
Следовательно, t = 1, 96.
Рассчитаем объём выборки:
.
Так как n - целое число, а также, учитывая необходимость не превысить заданную ошибку, округлим полученный результат до большего целого.
Следовательно, необходимо провести не менее 39 проверок.
Ответ. Для определения среднего числа автомобилей, оставляемых на ночь на охрану с вероятностью 0, 95 и Dx=3, необходимо, необходимо провести не менее 39 проверок.
Задача 6. Изменим условие задачи 4.
Каким должен быть объём собственно-случайной бесповторной выборки, чтобы с вероятностью 0, 9 можно было утверждать, что максимальное отклонение выборочной доли дней от доли дней в течение года (когда среднее число оставляемых на охрану автомобилей не превышало 400 единиц) не превышало 0, 1, если по данным прошлых проверок выборочная доля таких дней составляла 0, 6?
Решение. Дано: Dw = 0, 1; w = 0, 6; g = 0, 9; N=365.
Воспользуемся формулой расчета необходимой численности выборки для доли при собственно-случайном бесповторном отборе:
.
Найдем t из соотношения 2F0(t) = g:
2F0(t) = 0, 9;
F0(t) = 0, 9 / 2 = 0, 45.
По таблице функции Лапласа (приложение 2) найдем при каком t F0(t) = 0, 45.
F0(1, 64) = 0, 45.
Следовательно, t = 1, 64.
Рассчитаем необходимую численность выборки:
.
Так как n - целое число, а также, учитывая необходимость не превысить заданную ошибку, округлим полученный результат до большего целого.
Следовательно, n» 55.
Ответ. Для того чтобы с вероятностью 0, 9 и предельной ошибкой 0, 1 с помощью собственно-случайного бесповторного отбора определить искомую долю дней в течение года, необходимо провести не менее 55 проверок.
Задача 7. Служба контроля Энергосбыта провела выборочную проверку расхода электроэнергии жителями одного из многоквартирных домов. С помощью собственно-случайного отбора выбрано 10 квартир и определен расход электроэнергии в течение одного из летних месяцев (кВт-час): 125; 78; 102; 140; 90; 45; 50; 125; 115; 112.
С надежностью 0, 95 определите доверительный интервал для оценки среднего расхода электроэнергии на 1 квартиру во всем доме при условии, что в доме 70 квартир, а отбор был:
а) повторным;
б) бесповторным.
Решение. По условию задачи выборочное обследование проведено с помощью собственно-случайного отбора. Объем выборки n = 10 единиц, т.е. выборка - малая.
а) Считая отбор повторным, найдем доверительный интервал для оценки среднего расхода электроэнергии на 1 квартиру во всем доме, т.е. границы доверительного интервала для оценки генеральной средней.
Для этого используем формулы:
;
.
Для определения границ доверительного интервала необходимо рассчитать выборочные среднюю и среднее квадратическое (стандартное) отклонение.
Рассчитаем выборочную среднюю арифметическую:
.
Найдем исправленную выборочную дисперсию:
Найдем исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение:
Итак, дано: == 98, 2; s = 32, 1448; n = 10; g = 0, 95.
По таблице Стьюдента (Приложение 3) найдем t по уровню значимости a и числу степеней свободы k.
a = 1 - g = 1 - 0, 95 = 0, 05;
k = n - 1 = 10 - 1 = 9.
ta=0, 05; k=9= 2, 26.
Найдем предельную ошибку выборки:
.
.
;
;
.
Ответ. При условии, что отбор квартир был повторным, с вероятностью 0, 95 можно ожидать, что средний расход электроэнергии на 1 квартиру во всем доме находится в интервале от 75, 2269 до 121, 1731 кВт-часа.
б) Найдем границы доверительного интервала для оценки среднего расхода электроэнергии на 1 квартиру во всем доме, считая отбор бесповторным.
Для этого используем формулы:
.
.
По условию: == 98, 2; s = 32, 1448; n = 10; g = 0, 95; ta=0, 05; k=9= 2, 26; N = 70.
Найдем предельную ошибку выборки:
.
;
;
.
Ответ. При условии, что отбор квартир был бесповторным, с вероятностью 0, 95 можно ожидать, что средний расход электроэнергии на 1 квартиру во всем доме находится в интервале от 76, 9311 до 119, 4689 кВт-часа.
|
|