Розглянемо математичну модель процесів, що протікають в черв’ячному пресі, в кожній з трьох зон.

Схема ділянки зони живлення зображено на рисунку 4.3.

Рисунок 4.3 – Схема ділянки зони живлення

Модуль живлення – елемент об'єму, що знаходиться у зоні живлення. Зона живлення повинна забезпечувати рівномірну примусову подачу полімеру в наступні зони (плавлення і гомогенізації). Канал черв'яка заповнений гранулами цілком. При аналізі процесу живлення припускають, що полімер у зоні живлення рухається як суцільне тверде тіло, без зсуву між гранулами. Зсув гранул відсутній тому, що коефіцієнт тертя полімеру об полімер набагато більший, ніж коефіцієнт тертя полімеру об сталь черв’яка чи циліндра. При чому сила тертя об циліндр є більшою за силу тертя об черв’як через більшу площу циліндра. Це приведе до того, що пробка гранул буде проковзувати по поверхні черв’яка і зрізатися з поверхні циліндра гребнем черв’яка, рухаючись в осьовому напрямку.

Визначення глибини нарізки каналу H₁ виконується ітераційним методом. При цьому підбирається шукана глибина, що забезпечує задану продуктивність зони подачі.

Продуктивність зони подачі визначається за формулою:

, кг/с, (4.1)

де – продуктивність зони подачі, кг/с;

– площа перетину площиною, перпендикулярною до осі черв'яка, ;

V ₀, – осьова складова колової швидкості черв’яка, м/с;

– насипна густина гранул полімеру, кг/м³.

Черв'як з діаметром D обертаючись з n об/сек, має колову швидкість V=pDn. Полімер ковзає відносно черв'яка зі швидкістю V _ч, тоді V _ц є швидкість руху полімеру відносно циліндра. Проекція швидкості V на вісь черв'яка дає складову осьову V ₀, тобто швидкість осьового переміщення полімеру, що визначає продуктивність зони живлення.

Осьова швидкість переміщення полімеру визначається за формулою:

, м/с, (4.2)

де j – кут підйому гвинтової нарізки черв’яка:

, град., (4.3)

де S – крок нарізки черв’яка, м;

D – діаметр черв’яка, м.

Для визначення кута w, розглянемо сили, що діють у каналі черв’яка. Вибираємо систему координат, вісь х – до гребня, вісь z спрямована уздовж каналу витка. Виділимо елемент dz і розглянемо сили, як зображено на рисунку 4.3.

На елемент діє сила тертя об стінку циліндра dF_ц, спрямована протилежно швидкості V_ц, сила тертя об черв'як dF_ч – протилежно V_ч, сила тиску активної сторони гребеня витка dF_n, і сила тертя, викликана силою dF_n .

Спроектуємо сили на вісь х:

, кН. (4.4)

Спроектуємо на вісь z:

, кН. (4.5)

З формул (4.4) і (4.5) знайдемо dr – результуюча сили тиску:

, кН. (4.6)

Виразимо всі сили через тиск:

(4.7)

де Н – глибина каналу черв’яка, м;

dS _ц – поверхня тертя об циліндр, :

; (4.8)

dS _ч – поверхня тертя об канал черв'яка, ;

; (4.9)

f _ц, f _ч – коефіцієнти тертя полімеру об циліндр і черв'як.

Після підстановки формул (4.7-4.9) у вирази (4.4) і (4.5) отримаємо:

; (4.10)

, (4.11)

де b – ширина каналу витка, м:

, (4.12)

де – ширина витка нарізки черв’яка, м.

Якщо ввести координату L, спрямовану по осі черв'яка, то отримаємо:

; (4.13)

. (4.14)

У загальному випадку коефіцієнт тертя і кут w по довжині зони живлення змінюються. Однак, використовуючи метод ступеневої апроксимації, можна вважати, що в межах елемента DL = L ₂ – L ₁, ці величини рівні const, а їхня зміна відбувається на границі розділу стрибкоподібно.

Формула для розрахунку профілю тиску:

, МПа (4.15)

Отриманий вираз дозволяє розрахувати тиск р по довжині зони живлення по елементах L, якщо відомо тиск р на вході в зону живлення і функціональний опис зміни коефіцієнта тертя і кута w по довжині зони живлення.

Значення кута w буде найбільшим на початку зони живлення, а далі w зменшується. Це пояснюється тим, що тиск по довжині зони зростає, насипна щільність збільшується а, масова витрата постійна, то кут w зменшується.

Площа перетину площиною, перпендикулярною до осі черв'яка:

, м². (4.16)

Підставивши у формулу (4.1) формули (4.2) і (4.16) отримаємо повну формулу для визначення продуктивності зони подачі:

кг/с. (4.17)

Метою розрахунку модуля плавлення є визначення наступних величин: витрати розплаву, потужності нагрівачів (необхідної для вибору нагрівачів), потужності дисипації (для вибору привода), середньо-масової температури полімеру Т _р = Т _ср.

Після того як стиснутий полімер вийде за межі охолодження зони живлення, на стінці циліндра утвориться плівка розплаву. На початку вона заповнює простір між гранулами і коли її товщина стає в багато разів більше чим проміжок між гребенем витка і циліндром, черв'як починає зрізати цю плівку, з цього моменту працює своєрідний механізм процесу плавлення.

Розглянемо швидкісне поле в зоні плавлення. Для спрощення задачі, аналіз процесів, що протікають у каналі черв'яка, здійснюється з використанням плоскопаралельної моделі.

Позначимо швидкість руху пробки полімеру відносно черв'яка – W, і відносно стінки циліндра – V.

Твердий полімер рухається з постійною по перетину швидкістю V_zт уздовж каналу черв'яка. У плівці розплаву, товщиною d, швидкість W_z змінюється від V_zт до V_z. Відповідно швидкість W_x змінюється від 0 на поверхні твердого полімеру до V_x на плівці циліндра. Під впливом V_x полімер переходить в область розплаву у гребеня, що штовхає його.

Розрахункова схема зони плавлення зображена на рисунку 4.4.

Рисунок 4.4 – Розрахункова схема зони плавлення

Розгорнутий циліндр рухається з коловою швидкістю V = pDn, а проекції цієї швидкості:

V_x = V × sinj; V_z = V × cosj. (4.18)

Твердий полімер рухається з постійною швидкістю V_zт, яку можна визначити з рівняння витрати:

, м/с, (4.19)

де – насипна густина гранул полімеру, кг/м³.

У загальному випадку напруга зсуву змінюється, але використовуючи метод ступеневої апроксимації, тобто розрахунок по елементах Dz, будемо вважати її постійною. Тоді в якості реологічного рівняння можна використовувати закон Ньютона:

(4.20)

Рівняння руху полімеру:

. (4.21)

Основні енергетичні витрати будуть у плівці. Для аналізу використовуємо загальну математичну модель процесу одержання і переробки полімерів. Швидкість W_y < < (W_x, W_z), тому проекцією на вісь y знехтуємо. Процес вважаємо стаціонарним, тому всі похідні за часом будуть рівні нулю. Знехтуємо силами інерції, бо полімер – високомолекулярна рідина, і нехтуємо силами тяжіння (, , ). Оскільки плівка розплаву безперервно зрізується, то її товщина d є малою, а в таких плівках навіть незначна зміна профілю швидкості потребує дуже високих градієнтів тиску, які в реальному процесі не реалізуються. Рух полімеру в плівці можна розглядати як рух рідини між нерухомою і рухомою поверхнею. Тому вплив градієнтів тиску (, , ) можна не враховувати. Найбільша зміна швидкості відбувається по координаті у (по товщині плівки) і похідні по у набагато більші ніж по х і z – цими похідними нехтуємо.

Система рівнянь руху (4.21) з урахуванням спрощень матиме вигляд:

. (4.22)

Граничні умови для розв’язання рівнянь (4.20):

При y = 0 Þ W_x = 0, W_z = V_zт; (4.23)

При y = d Þ W_x = V_x, W_z = V_z. (4.24)

Рівняння енергії:

Оскільки процес стаціонарний, то =0. Конвективна складова, порівняно з переносом теплоти теплопровідністю, – мала, тому нехтуємо нею. Найбільша зміна температури від температури стінки до температури плавлення відбувається по товщині плівки, тому похідні по у значно більші ніж по х і z – цими похідними нехтуємо. Далі вважаємо, що внутрішні джерела відсутні, а в функції дисипації найбільшими похідними є і .

Рівняння енергії, після спрощень, приймає вигляд:

. (4.26)

Для опису середньої товщини плівки розплаву d і ширини розплавленого полімеру х необхідно два рівняння: рівняння теплового балансу на границі розділу плівки розплаву і твердого полімеру, рівняння матеріального балансу по розплаву і твердому полімеру.

Перше рівняння формулюється так: кількість теплоти, що підводиться від плівки розплаву до твердого полімеру на границі розділу, в одиницю часу витрачається на нагрівання твердого полімеру (від Т_вх до Т_пл) і плавлення цього полімеру, при цьому витрата розплаву збільшується на величину dG_p:

. (4.27)

Кількість розплаву, що утворюється за одиницю часу:

. (4.28)

Тепловий потік на поверхні розділу (у=0) відповідно до закону Фур’є:

(4.29)

Підставляючи (4.28) і (4.29) в (4.27) отримаємо:

. (4.30)

Для визначення ширини нерозплавленого полімеру х складемо рівняння матеріального балансу, згідно з яким: збільшення масової витрати розплаву на довжині dz дорівнює зменшенню витрати твердого полімеру на тій же довжині:

. (4.31)

Інтегруючи рівняння (4.22) з умовами (4.23) і (4.24), отримуємо швидкості деформації:

, м/с; (4.32)

; (4.33)

Підставимо в рівняння енергії (4.26) формули (4.33) і вводячи:

, м/с; (4.34)

одержимо:

. (4.35)

Інтегруючи двічі рівняння (4.35) одержимо рівняння, що описує температурне поле в плівці розплаву:

(4.36)

Інтегруючи (4.36) отримаємо середню температуру плівки:

; (4.37)

(4.38)

Підставивши в рівняння (4.30) формули (4.32) і (4.36) і розв’язуючи відносно товщини стінки отримаємо:

, м. (4.39)

Оскільки товщина плівки набагато менше за глибину каналу то рівняння (4.31) прийме вигляд:

. (4.40)

Підставляючи значення товщини (4.39) в (4.32) і інтегруючи одержаний вираз від до і від до , то одержимо рівняння для обчислення ширини нерозплавленого полімеру на виході з елемента Dz:

, м. (4.41)

де: . (4.42)

Визначивши градієнт температури на стінці циліндра (у=0) з формули (4.36) одержимо потужність, яка підводиться від нагрівачів:

, кВт. (4.43)

Потужність нагрівачів і потужність дисипації витрачаються на підвищення ентальпії полімеру, тому можна скласти наступне рівняння матеріального балансу:

, кВт. (4.44)

Потужність дисипації:

, кВт (4.45)

де ентальпія полімеру при середній температурі , кДж/кг.

Для того, щоб оцінити наскільки близько полімер знаходиться від стану повного розплаву, введемо його середньо-масову температуру (умовно):

. (4.46)

Коли співвідношення між витратами розплаву і твердого полімеру досягає визначеного значення, чи внаслідок впливу конструктивних елементів черв'яка, описаний вище механізм плавлення порушується (нерозплавлена тверда плівка і її залишки змішуються з розплавом).

З цього моменту будемо вважати, що починається зона гомогенізації. У цій області можна виділити дві ділянки. Перша, в якій наявні нерозплавлені часточки, що плавляться в розплаві. В другій – полімер рухається у вигляді розплаву.

Процеси, що протікають в області розплаву, аналізуються за допомогою методу апроксимації і плоскопаралельної моделі черв'яка.

Довільний перетин модуля гомогенізації зображено на рисунку 4.5.

Рисунок 4.5 – Довільний перетин модуля гомогенізації

Введемо деякі спрощення при розрахунку даного модуля. Знехтуємо силами інерції і силами тяжіння, які набагато менші порівняно з силами в'язкості та тиску. Вважаємо процес стаціонарним, – тоді ліва частина рівняння руху дорівнює нулю. Вважаємо так само, що з напружень максимальним буде те, яке діє на площині, перпендикулярній до осі у.Складовою швидкості в напрямку вісі у (W_y) знехтуємо. З урахуванням спрощень, рівняння руху (4.21) приймають вигляд:

(4.47)

Вводячи рівняння Ньютона для компонентів тензора напруги, маємо:

(4.48)

При застосуванні методу ступеневої апроксимації в’язкість в межах елемента можна вважати постійною, і визначати її за середніми для елемента значеннями швидкостей деформації () і середньою температурою (). Зміна ряду величин також відбувається стрибкоподібно на поверхні розділу елементів, і в межах елемента їх можна вважати незмінними по координаті у. Тоді замість рівнянь (4.47) для описання течії можна застосувати рівняння руху для ньютонівської моделі рідини, які в даному випадку мають вигляд:

(4.49)

Граничні умови:

при y = 0: W_x = 0, W_z = 0; (4.50)

при y = H: W_x = –V_x, W_z = V_z (для каналу черв’яка),

W_z = 0 (для зазорів) (4.51)

Для визначення тиску використовуємо рівняння нерозривності в інтегральній формі. Розглянемо складову швидкості Wz, яка визначає масову витрату через поперечні перерізи відповідних каналів: Sk = bH для каналу черв’яка і - для зазорів між циліндром і черв’яком. Масова витрата в цьому випадку дорівнює:

(4.52)

Розглянемо тепер складову швидкості W_x. Для зазорів між циліндром і черв’яком, для фіксованого радіуса, тиск в тангенціальному напрямку незмінний, тому . Для каналу черв’яка складова W_x є циркуляційною складовою, бо визначає циркуляцію розплаву поперек каналу. Тому масова витрата через будь-який переріз Н дорівнює нулю:

кг/с. (4.53)

Рівняння для визначення тиску в цьому випадку набуває вигляд:

. (4.54)

Для розрахунку температурних полів слід розв’язати рівняння енергії. Проте для випадку коли процес ведеться в адіабатичному режимі, для обчислення середньої температури достатньо визначити потужність дисипації, яка йде на підвищення ентальпії розплаву. Для цього необхідно інтегрувати по об’єму елемента функцію дисипації в рівнянні енергії. Оскільки найбільше значення мають тільки компоненти і , то рівняння для визначення потужності дисипації набуває вигляду:

кВт. (4.55)

Відповідно до спрощень методу ступеневої апроксимації підінтегральна функція залежить тільки від координати у, тому рівняння (4.55) спрощується:

кВт. (4.56)

Таким чином, розв’язуючи системи рівнянь (4.28, 4.29, 4.32) можна визначити компоненти швидкості W_x і W_z тиск Р, а також потужність дисипації. Після руйнування полімерної пробки, яким завершується механізм процесу плавлення, розплав має нерозплавлені частинки цієї пробки. Тому для перехідної області можна припустити, що потужність дисипації витрачається на завершення процесу плавлення цих частинок, а середня температура розплаву не змінюється і залишається рівною температурі, обчисленій в останньому модулі плавлення. Тоді масова витрата розплаву збільшиться на величину:

, кг/с; (4.57)

де: і – середня температура розплаву і температура полімеру на вході, K.

Після завершення плавлення приріст середньої температури розплаву можна визначити з рівняння теплового балансу елемента , звідки одержимо:

, K; (4.58)

де С – теплоємність розплаву при його середній температурі, кДж/(кг^.K).

Тепер докладніше розглянемо процес гомогенізації в каналі черв’яка. Розглянемо спочатку складову швидкості W_x. Запишемо рівняння (4.49) у вигляді:

. (4.59)

Інтегруючи двічі одержимо:

, м/с. (4.60)

З граничних умов (4.50) і (4.51) знаходимо:

=0, (4.61)

. (4.62)

Підставимо тепер рівняння (4.60) з сталими (4.61) і (4.62) в (4.54):

. (4.63)

В результаті інтегрування маємо:

. (4.64)

Звідси градієнт тиску дорівнює:

. (4.65)

Підставивши вираз (4.65) в (4.60), одержимо наступну функцію, яка описує швидкісне поле в напрямі х:

, м/с. (4.66)

Складова швидкості деформації визначається так:

. (4.67)

Розглянемо тепер складову швидкості W_z. Інтегруючи рівняння (4.49) і визначаючи постійні інтегрування і з граничних умов (4.50) і (4.51) одержимо вираз:

, м/с. (4.68)

Для визначення градієнта тиску скористаємося рівнянням нерозривності (4.52), після підстановки в яке виразу (4.68) маємо:

, кг/с. (4.69)

Після інтегрування одержимо:

, кг/с. (4.70)

В рівнянні (4.70) введені коефіцієнти і , які враховують гальмівну дію бокових стінок каналу черв’яка і можуть бути визначені формулами:

(4.71)

Визначимо тепер градієнт тиску з рівняння (4.70):

. (4.72)

Підставимо (4.72) в вираз (4.68):

, м/с. (4.73)

Відповідно компонента швидкості деформації дорівнює:

, с^-1. (4.74)

Інтегруючи рівняння (4.72) в межах від до і від до , одержимо вираз для визначення приросту тиску:

, МПа. (4.75)

Потужність дисипації визначаємо з рівняння (4.56), причому, щоб врахувати зміну в’язкості по висоті каналу, виконуємо чисельне інтегрування за методом Сімпсона:

, кВт, (4.76)

де – число вузлових точок по координаті у: і = 1, 2, 3, …m, m-3, m-1; j = 2, 4, …, m-4, m-2; – в’язкість у вузлових точках, що визначається за середньою температурою і складовими швидкості деформації.

Розглянемо тепер випадок течії в зазорах між нерухомим циліндром і черв’яком.

Аналогічно з випадком розглянутим вище:

, м/с. (4.77)

З граничних умов (4.35) і (4.36) знаходимо:

=0, (4.78)

. (4.79)

Підставивши значення постійних інтегрування в (4.77), одержимо вираз, що описує профіль швидкості в напрямі :

, м/с. (4.80)

Таким чином, профіль швидкості W_x лінійний, а складової W_z, яка пов’язана з масовою витратою, параболічний.

Для визначення градієнта тиску скористаємось рівнянням нерозривності (4.52). Підставивши в нього значення W_z, формули (4.80), одержимо:

кг/с. (4.81)

Після інтегрування маємо:

, кг/с. (4.82)

Визначимо далі градієнт тиску:

, МПа. (4.83)

Підставивши (4.82) в (4.80), маємо:

, м/с. (4.84)

Інтегруючи рівняння (4.83) в межах від до і від до , одержимо вираз для визначення приросту тиску:

, МПа. (4.85)

Визначимо тепер складові швидкості деформації, диференціюючи по у вирази (4.77) і (4.84):

, с^-1. (4.86)

, с^-1. (4.87)

Потужність дисипації може бути визначена з рівняння (4.76), в якому значення складових швидкості деформації знаходяться відповідно до (4.86) і (4.87).

Програма розрахунку, яка об’єднує всі три модулі (живлення, плавлення і гомогенізації) приведена у Додатку В.

За наведеними нижче вхідними даними, за допомогою розробленої програми, було проведено розрахунок проектованого черв’ячного екструдера.

Результати розрахунку черв'ячного преса наведені в додатку В.

Висновки: згідно з результатами параметричного розрахунку ЧПК, що наведені в додатку В.

- тиск приймаємо рівним Р =30МПа,

- потужність електродвигуна приводу машини

N_Е = N ч /ε = 17, 71 / 0, 5 = 35, 42 КВт,

де ε = 0, 4...0, 6 – коефіцієнт, що враховує витрати енергії у приводі черв'ячної машини;

N ч. – потужність на черв’яку.

Використовуємо асинхроний трьохфазний електродвигун марки АИР 200М2 ГОСТ 2479-79, з частотою обертання 3000 об/хв та номінальною потужністю N = 37 КВт.