Занятие 4. Линейные операторы и их матрицы. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Действия над линейными операторами.

Алгебра линейных операторов. Линейным оператором в линейном пространстве Lназывается всякое отображение пространства L в себя, обладающее свойствами

А (λ х) = λ А х и А (х + у) = А х + А у.

Пусть А − линейный оператор в конечномерном пространстве L _n и B = (e ₁,..., е _n)некоторый фиксированный базис. Разложим векторы А е _k, k = 1,..., n по базису B: А е _k = а _{1 k} е ₁ +... + а_nk е _n, k = 1,..., п.

Тогда матрица A называется матрицей линейного оператора A в базисе B. Пусть А и А' − матрицы оператора А в базисах B и B', a − матрица перехода от базиса B к базису B'. Тогда формула преобразования матрицы оператора при преобразовании базиса имеет вид .

Над линейными операторами, действующими в фиксированном пространстве L, вводятся следующие операции:

а) сложение операторов: (А + В) х = А х + В х; при этом [ A + B ] = A + B;

б) умножение операторов на числа: (λ А) х = λ (А х); при этом [λ A ] = λ A;

в) умножение операторов: (AB) x = A (B x); при этом [ AB ] = AB.

Обратным к оператору A называется оператор А ^{− 1}такой, что А А ^{− 1} = А ^{− 1} A = E, где Е − единичный оператор, реализующий тождественное отображение. Оператор А имеет обратный (и в этом случае называется невырожденным)в том и только том случае, когда его матрица А невырождена (в любом базисе); при этом [ А ^{− 1}] = А ^{− 1}.

Задачи: ОЛ-6, гл. 4: 4.83 – 4.99 (неч.), 4.103, 4.106 (б), 4.107, 4.110, 4.113

В задачах 4.83− 4.89 установить, какие из заданных отображений пространства V₃в себя являются линейными операторами; выписать их матрицы в прямоугольном базисе

4.83. А х = λ х, λ − фиксированное число.

4.85. А х = (x, е) е, где е − заданный единичный вектор. Выяснить геометрический смысл этого отображения.

4.87. А х = (а, х) х, а − фиксированный вектор.

4.89. Если x = x i + y j + z k, то Ax = (y + z) i + (2 x + z) j + (3 x − y + z) k.

В задачах 4.90− 4.95 установить, какие из заданных отображений пространства арифметических векторов R ³ в себя являются линейными операторами; выписать их матрицы в каноническом базисе.

4.91. А х = (х ₁, х ₂ + 1, x ₃ + 2). 4.93. А х = (х ₁ + 2 х ₂ + 2 х ₃, − 3 х ₂ + х ₃, 2 х ₁ + 3 х ₃).

4.95. А х = (3 x ₁ + 5 х ₃, x ₁ + x ₃ + 1, 3 х ₂ − 6 х ₃).

В пространстве R ³заданы два линейных оператора А и В. Найти матрицу [ С ] линейного оператора С = АВ − ВA и его явный вид в каноническом базисе R ³:

4.97. А x = (7 x ₁ + 4 x ₃, 4 x ₂ − 9 x ₃, 3 x ₁ + x ₂), x = (x ₂ − 6 x ₃, 3 x ₁ + 7 x ₃, x ₁ + x ₂ − x ₃).

4.99. А x = (3 x ₁+ x ₂ − 2 x ₃, 3 x ₁ − 2 x ₂+4 x ₃, − 3 x ₁+5 x ₂ − x ₃), B x = (2 x ₁ + x ₂, x ₁ + x ₂+2 x ₃, − x ₁ + 2 x ₂ + x ₃).

4.106. В L₄ задан линейный оператор А, матрица которого в некотором базисе B = (e ₁, e ₂, e ₃, е ₄)равна

Найти матрицу этого оператора в базисе B' = (e ₁, e ₁ + e ₂, e ₁ + e ₂+ e ₃, e ₁ + e ₂+ e ₃ + е ₄)

4.107. В L₃заданы два базиса: B': , , , B'': , , .

Найти матрицу оператора А в базисе B'', если его матрица в базисе B' имеет вид

4.110. В пространстве P₃ задан линейный оператор дифференцирования . Найти матрицу этого оператора в базисе: a) 1, t,..., t^{n − 1};

4.113. В пространстве функций, дифференцируемых на всей оси, заданы оператор дифференцирования и оператор A = e^{λ t} умножения на функцию e^{λ t}. Проверить равенство DA − AD = λ A.

Домашнее задание: 4.84, 4.86, 4.90 – 4.100 (четн.), 4.108, 4.110(б)

4.84. А х = λ х + а, λ и а фиксированы. 4.86. A х = [ a, х ], а − фиксированный вектор. 4.90. Ах = (х ₂ + х ₃, 2 x ₁ + x ₃, 3 x ₁ − х ₂ + x ₃). 4.92. Ах = (0, х ₂ − х ₃, 0). 4.94. Ах = (3 x ₁ + x₂, x ₁ − 2 x ₂ − x ₃, 3 x ₂ + 2 x ₃). 4.98. Аx = (2 x ₁ − x ₂+5 x ₃, x ₁ + 4 x ₂ − x ₃, 3 x ₁ − 5 x ₂+2 x ₃), Bx = (x ₁ + 4 x ₂+3 x ₃, 2 x ₁ + x ₃, 3 x ₂ − x ₃). 4.100. Аx = (3 x ₁ + x ₂ + x ₃, 2 x ₁ + x ₂+2 x ₃, x ₁ + 2 x ₂+3 x ₃), Bx = (x ₁ − x ₂ − x ₃, 2 x ₁ − x ₂ + x ₃, x ₁ + x ₂).

4.108. В пространстве L₂оператор А в базисе B': , , имеет матрицу . Оператор В в базисе B'': , , имеет матрицу . Найти матрицу оператора A + B в базисе B''.

4.110. б) .

Ответы: