Представление целых чисел

Целые числа точно представляются в памяти компьютера и позволяют выполнять операции без погрешностей. Целочисленная арифметика позволяет реализовать операции деления нацело с остатком (причем можно в качестве результата получить как частное от деления, так и остаток). Именно целые числа используются при решении многих экономических задач и задач управления (примерами данных, представленных целочисленными величинами, являются количество акций, сотрудников, транспортных средств, деталей, единиц боевой техники и т.п.; целые числа служат для нумерации элементов в различных наборах данных, для обозначения даты и времени, для кодирования текста, изображения и звука), реализации средств криптографической защиты информации (защиты с помощью шифрования), в программах электронной почты и в средствах навигации в Internet для записи адреса и т.д. Поэтому аппаратурой компьютеров обычно поддерживается несколько форматов представления целочисленных данных и множество операций над ними.

Целые числа в памяти компьютера всегда хранятся в формате с фиксированной точкой, что, безусловно, ограничивает диапазон чисел, с которыми может работать компьютер, и требует учета особенностей организации выполнения арифметических действий в ограниченном числе разрядов.

Рассмотрим подробнее это представление.

Все числа, которые хранятся в памяти компьютера, занимают определенное количество двоичных разрядов. Это количество определяется форматом числа. Обычно для представления целых чисел используются несколько форматов (например, в IBM-совместимых персональных компьютерах поддерживается три формата: байт (8 разрядов), слово (16 разрядов), двойное слово (32 разряда)). Целые числа вписываются в разрядную сетку, соответствующую формату. Для целых чисел разрядная сетка имеет вид

где b _i – разряды двоичной записи целого числа (запись числа имеет вид последовательности цифр b _{n –2} b _{n –3}... b ₁ b ₀, разделитель между целой и дробной частью числа зафиксирован после b ₀, дробной части нет), S – разряд, отведенный для представления знака числа (для положительных чисел знак «+» кодируется цифрой 0, а знак «–» для отрицательных – цифрой 1), n – количество двоичных разрядов в разрядной сетке.

Если двоичная запись числа оказывается короче отведенной для его хранения в памяти компьютера разрядной сетки, то старшие разряды заполняются нулями.

Например, число 11₁₀ = 1011₂ в формате байта будет записано как

(старший (знаковый) разряд заштрихован). В формате слова то же число будет выглядеть как

Отрицательные числа для упрощения выполнения операций хранятся в дополнительном коде, который получается путем обращения (инверсии) всех разрядов в двоичной записи числа, вписанной в разрядную сетку, и добавлением 1.

Такая запись чисел ограничивает диапазоны значений, с которыми может работать компьютер. Например, для чисел в формате байта представимы значения от –128 (–2⁷) до 127 (2⁷ – 1), для чисел в формате слова – от –32 768 (–2¹⁵) до 32 767 (2¹⁵–1), а длинные целые числа в формате двойного слова могут принимать значения из диапазона от –2 147 483 648 до 2 147 483 647.

Если по условиям задачи используются только положительные значения, то их можно хранить в формате чисел без знака – старший разряд рассматривается как разряд, содержащий двоичную цифру записи числа, а не знак. При этом диапазон представимых положительных чисел увеличивается. Например, в байт можно записать числа от 0 до 255 (2⁸ – 1), а в слово – значения от 0 до 65 535 (2¹⁶ – 1).

Особенности представления чисел в памяти компьютера могут привести и к ошибкам при обработке данных.

Рассмотрим пример. Предположим, что программа выполняет функции подсчета каких-либо объектов и для хранения количества этих объектов используется представление данных в формате целого числа со знаком, записанного в байт. Рассмотрим ситуацию, когда количество объектов уже стало равным 127 и увеличивается еще на 1. Результат должен быть равен 128, но сможем ли мы его получить с помощью компьютера, если работаем со знаковыми числами в формате байта?

Целое число 127 в памяти компьютера будет представлено цепочкой нулей и единиц 01111111. При добавлении единицы будет получено число 1 0000000:

(действия в двоичной системе счисления выполняются так же, как и в десятичной, но используются только две цифры, поэтому если при сложении разрядов получается значение, большее 1, происходит перенос в старший разряд). Но старший разряд является знаковым! Поэтому в результате сложения компьютер получит целое число –128, записанное своим дополнительным кодом. И именно это отрицательное число будет затем использовано во всех вычислениях.

Этот пример демонстрирует возможность появления ошибок при выполнении программ вследствие неправильно выбранных форматов для представления данных.

Таким образом, при выполнении программ может возникнуть ситуация, когда полученные результаты не смогут «вписаться» в отведенную для них разрядную сетку, произойдет ее «переполнение». Разработчики программ должны отслеживать такие ситуации и предотвращать подобные ошибки, а пользователи должны четко формулировать требования к условиям эксплуатации программ, их входным данным и результатам. Игнорирование этих требований может привести к серьезным проблемам. Поэтому при разработке программного обеспечения очень важно знать, с какими диапазонами значений будет работать программа. Это позволит правильно определить форматы представления чисел и предупредить возможные ошибки при обработке данных.