Изображение синусоидальных функций времени в комплексной форме

При расчетах цепей синусоидального тока используют символический метод расчета или метод комплексных амплитуд. В этом методе сложение двух синусоидальных токов заменяют сложением двух комплексных чисел, соответствующих этим токам.

Комплексное число может быть записано в показательной или алгебраической форме:

где с - модуль комплексного числа;

φ - аргумент;

a - вещественная часть комплексного числа;

b - мнимая часть;

j - мнимая единица,

С помощью формулы Эйлера можно перейти от показательной формы записи к алгебраической.

От алгебраической формы записи переходят к показательной форме с помощью формул:

Комплексное число может быть представлено в виде радиус - вектора в комплексной плоскости. Вектор длиной, равной модулю c, расположен в начальный момент времени под углом φ относительно вещественной оси (рис.3.3).

Умножим комплексное число на множитель . Радиус - вектор на комплексной плоскости повернется на угол β. Множитель называется поворотным.

Рис.3.3

Если , то вектор, умноженный на , превратится во вращающийся со скоростью радиус - вектор.

Выражение

называется комплексной функцией времени.

Замечание. В электротехнике над символами, изображающими комплексные напряжения, токи, ЭДС, принято ставить точку.

Применительно к напряжению, получим комплексную функцию времени для напряжения.

Комплексная амплитуда напряжения (исходное положение вектора в комплексной плоскости).

Определим, чему равна мнимая часть комплексной функции времени для напряжения.

Мгновенное синусоидальное напряжение (ток, ЭДС) является мнимой частью соответствующей комплексной функции времени.

Синусоидальные функции времени могут быть представлены векторами в комплексной плоскости, вращающимися против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью ω. Проекция вектора на мнимую ось изменяется по синусоидальному закону.

Пример.

Сложение синусоидальных токов заменим сложением комплексных амплитуд, соответствующих этим токам.

Амплитуда результирующего тока

начальная фаза

Мгновенное значение результирующего тока

Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме: