Понятие функции двух переменных. Частные производные

Функции нескольких переменных

Понятие функции двух переменных. Частные производные

Будем рассматривать две независимые переменные х и у. Каждой паре значений х и у на плоскости соответствует точка, для которой х и у являются координатами. Возьмём на плоскости множество точек и обозначим его .

Величина z называется функцией переменных величин х и у на множестве D, если каждой точке этого множества соответствует одно определённое значение величины z. Обозначается функция . Множество D называется областью определения функции.

Графиком функции двух независимых переменных является некоторая поверхность в пространстве.

Функция называется непрерывной в точке , если предел функции при и равен её значению в этой точке, т.е. . Функция называется непрерывной в области D, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Предположим, что функция определена в окрестности точки . Дадим независимой переменной х приращение . При этом переменная у будет сохранять своё значение. Тогда функция получит приращение по переменной х в точке . Это приращение называется частным приращением функции по переменной х в точке . Аналогично определяется частное приращение функции по переменной у в точке : .

Частной производной функции называется предел отношения частного приращения функции к частному приращению соответствующего аргумента, если последнее стремится к нулю:

, .

По определению частная производная функции двух переменных находится как производная функции одной переменной, когда вторая переменная остаётся постоянной. Поэтому вычисление частных производных ничем не отличается от вычисления производных функции одной переменной и выполняется по тем же правилам.

Пример 1. Найти частные производные функции двух переменных .

Решение. Найдём частную производную по переменной х, считая переменную у постоянной: . Теперь будем считать, что переменная х остаётся постоянной: .

Предположим, что частные производные и функции в свою очередь являются функциями независимых переменных х и у. Тогда частные производные от этих частных производных называются частными производными второго порядка или вторыми частными производными функции : , , , . Производные и называются смешанными и они равны между собой.

Пример 2. Найти частные производные второго порядка функции .

Решение. , ,

,

= ,

= = ,

= = .