Суть задачи

Предметной областью задачи являются перевозки грузов (продукции) от производителей (заводов) к потребителям (торговым предприятиям; в рассматриваемом варианте задачи потребители представлены их складами). Предполагается, что производители и потребители территориально размещены в разных городах. Производители характеризуются своими производственными возможностями – возможными объёмами производства в плановом промежутке времени. Потребители характеризуются своими потребностями в продукции, производимой заводами.

Необходимо составить план перевозок продукции от производителей к потребителям (определить: кому от кого и сколько перевозить) таким образом, чтобы потребности потребителей были удовлетворены и, одновременно, от каждого из заводов не требовалось бы продукции больше его производственной возможности.

Скорее всего, решение задачи составления плана не единственно, и возможно создание нескольких таких планов. Отличаться они будут не только конкретикой объёмов перевозок от конкретного производителя к конкретному потребителю, но и суммарными затратами на перевозки. Естественно, очень желательно найти такой план, чтобы суммарные затраты на перевозки были бы минимально возможными.

Искомыми переменными в задаче планирования перевозок являются объёмы каждого вида продукции, подлежащие перевозу в течение планового промежутка времени от каждого производителя к каждому потребителю; можно считать, что искомые переменные организованы в матрицу , где – объём (точнее масса, измеряемая килограммами или тоннами) продукции, перевозимой от –го производителя –му потребителю; – количество заводов – производителей продукции; – количество складов потребителей.

Целевой функцией являются суммарные затраты на перевозку продукции от производителей на склады потребителей: , где – затраты на перевозку продукции -му потребителю от всех производителей, вычисляемые по формуле , , где – стоимость доставки единицы массы продукции от –го производителя –му потребителю. Таким образом, .

Целью планирования является минимизация целевой функции в рамках ограничений, обусловленных потребностями потребителей и производственными возможностями заводов.

Константами задачи являются:

1) потребности потребителей (складов); предполагается, что потребителям необходимо наличие определённых объёмов продукции; эти объёмы входят в ограничения и представляют собой минимально допустимые значения запасов продукции на складах потребителей; превышение запасов над потребностями вполне допустимо; математически совокупность запасов представляет собой вектор , где – количество потребителей продукции, в Excel этот вектор предстá вим строкой данных;

2) производственные возможности заводов – объёмы продукции, которые могут произвести заводы в планируемом промежутке времени; объёмы производимой продукции представляют собой вектор , где – количество заводов; в Excel этот вектор предстá вим столбцом данных;

3) цены на перевозку единицы объёма продукции от производителей к потребителям; математически цены на перевозку продукции представляют собой матрицу , где – стоимость доставки единицы объёма (массы) продукции от –го производителя –му потребителю; в Excel матрицу предстá вим блоком (прямоугольником) данных.

Вспомогательные функции задачи в текущем рассмотрении следующие:

1) вывезенные с заводов объёмы продукции, вычисляемые по формуле: , ; осознаем, что это сумма поставок от -го производителя всем потребителям; можно считать, что вычисляемые значения указанных функций организованы в вектор ; в Excel этот вектор предстá вим столбцом данных;

2) количества доставленных объёмов продукции потребителям, вычисляемые по формуле: , ; осознаем, что это сумма поставок -му потребителю от всех производителей; можно считать, что вычисляемые значения указанных функций организованы в вектор ; в Excel этот вектор предстá вим строкой данных;

3) затраты на перевозку продукции каждому потребителю от всех производителей, вычисляемые по формуле , , где – стоимость доставки единицы массы продукции от –го производителя –му потребителю; можно считать, что вычисляемые значения указанных функций организованы в вектор ; в Excel этот вектор предстá вим строкой данных.

Ограничения в рассматриваемом варианте транспортной задачи имеют следующую семантику:

· вывезенные с заводов объёмы продукции не должны превышать производственные возможности этих заводов : , ;

· количества фактически доставленных объёмов продукции потребителям должны обеспечивать потребности потребителей : , ;

· все перевозимые объёмы продукции, конечно же, должны иметь положительные значения: , (; ).