По технологии хлеба - Влияние компонентов рецептуры на качество хлеба.

Наименование тем научных работ

Студентам предлагается получить математическую модель влияния количества дрожжей (х₁) и количества молочной сыворотки (х₂) на величину удельного объема (y).

В данном случае первый фактор – количество дрожжей (х₁) имеет два уровня: нижний (-) – 0, 5 %, верхний (+) – 3 %. Второй фактор – количество молочной сыворотки (х₂) имеет два уровня: нижний (-) – 10 %, верхний (+) – 30 %.

По технологии кондитерских изделий – «Влияние отдельных технологических факторов на качество затяжного печенья».

Студентам предлагается получить математическую модель влияния ферментного препарата протосубтилин Г10Х (х₁) и температуры замеса затяжного теста (х₂) на намокаемость печенья (y).

В данном случае первый фактор – количество ферментного препарата к массе муки (х₁) имеет два уровня: нижний (-) –0, 01 %, верхний (+) –0, 03 %. Второй фактор – температура теста (х₂) имеет два уровня: нижний(-) – 30^оС, верхний(+) – 50^оС.

По технологии макаронных изделий – «Влияние режима замеса макаронного теста на скорость прессования и качество изделий».

Студентам предлагается получить математическую модель влияния температуры заливаемой воды (х₁) и влажности макаронного теста (х₂) на величину скорости прессования (y).

В данном случае первый фактор – температура заливаемой воды (х₂) имеет два уровня: нижнийй (-) – 30^оС, верхний (+) – 90^оС. Второй фактор –влажность макаронного теста (х₂) имеет два уровня: нижний (-) – 29 %, верхний (+) – 33 %.

1. Находим центр эксперимента и выбираем интервалы варьирования факторов.

Назначение координат центра эксперимента С_i0 и интервалов варьирования λ _i во многом определяет эффективность эксперимента.

Координаты центра эксперимента должны соответствовать наилучшим из всех рекомендованных ранее условий протекания исследуемого процесса.

При назначении величин интервалов варьирования факторов в многофакторном эксперименте руководствуются тем, чтобы реакция процесса на соответствующее изменение фактора не маскировалась плохой воспроизводимостью исследуемого процесса и чтобы эту реакцию на фоне случайных воздействий на процесс неучтенных факторов можно было достоверно определить имеющимися в распоряжении исследователя приборами.

Находим центр эксперимента:

(1)

С_{i0 является серединой диапазона изменения факторов.}

Выбираем интервалы варьирования λ _i.

Изменение выхода процесса при изменении какого-либо i-го фактора на его интервал варьирования λ _i должно быть соразмерным с изменением выхода процесса при изменении любого другого j-го фактора на соответствующий интервал:

(2)

Составляем таблицу 1, где представлены факторы варьирования и уровни факторов варьирования.

1. Уровни факторов варьирования

2.Составляем план полного факторного эксперимента ПФЭ2ⁿ, который реализует все возможные неповторяющиеся комбинации уровней независимых переменных. Число комбинаций опытов при n факторов равно N =2ⁿ. В данном случает n=2 и N= 2²=4.

План эксперимента записываем в виде таблицы 2 с обозначением факторов в кодированном (безразмерном) и натуральном выражении. В безразмерном выражении верхний уровень будет обозначаться +1, нижний –1:

2. Матрица планирования эксперимента

u = 1÷ N – номер опыта

Х₁ · Х₂ – учитывает межфакторное взаимодействие.

Проверяем правильность плана. Для этого необходимо убедиться, что план будет симметричным относительно центра эксперимента, т.е. переменная Х_u будет иметь как положительное, так и отрицательное значение:

для любого фактора

(число знаков «+» и «– «в любом столбце должно быть одинаковым)

и

Симметричный план предусматривает равномерное изменение исследуемого фактора от опыта к опыту:

где С_u – значение фактора в u опыте в натуральной размерности;

С_(u+1) – то же для последующего опыта;

λ -интервал варьирования.

3. Проводим эксперимент в соответствии с составленным планом (матрицей планирования). По окончании эксперимента полученные данные (в трех повторностях Y_1u, Y_2u, Y_3u) сводим в таблицу 3 и определяем среднее значение выхода Ϋ _u в каждом опыте, которое принимается за оценку истинного значения Y.

3. Результат опытов.

4. По результатам двухфакторного эксперимента составляем уравнение регрессии, в котором помимо линейных членов будет член, учитывающий эффект парного межфакторного взаимодействия.

Y = В₀ +В₁Х₁ + В₂Х₂ + В₁₂Х₁Х₂ (4)

План ПФЭ2² дает возможность рассчитать 4 коэффициента (N=4).

Однако прежде необходимо убедиться в том, что полученные в результате эксперимента величины распределены по по нормальному закону. При экспериментальном исследовании какого-либо технологического процесса измеряемый результат является случайной величиной, на которую влияет огромное количество факторов. Именно поэтому результат исследования, как правило, является случайной величиной.

Случайная величина будет распределена по нормальному закону, если она представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожна мала.

Убедимся, что имеем закон нормального распределения:

(5)

Проверяем однородность оценок по критерию Кохрена G.

Если измеряемая случайная величина y_uk распределена по нормальному закону во всем исследуемом диапазоне, то независимо от значений Ϋ _u дисперсия не будет изменять своей величины. Следовательно, оценки этой дисперсии должны быть однородными. Если m_u= m = const, то однородность оценок дисперсий можно проанализировать при помощи критерия Кохрена: вычисляют отношение максимальной дисперсии к сумме всех дисперсий:

(6)

Сравните это отношение с критическим значением критерия Кохрена(приложение 3). Если G ‹ G_кр, то оценки однородны.

Рассчитываем коэффициенты линейного уравнения по средним результатам 4 опытов:

(7) (8)

(9) (10) или

Составляем уравнение регрессии, подставляя в уравнение (4) коэффициенты, полученные расчетным путем.

5. Проверяем значимость полученных коэффициентов уравнения.

Определение выхода процесса и обеспечение заданного уровня факторов в каждом опыте осуществляется неточно, с какой-то ошибкой. Следовательно, с какой-то ошибкой будут определяться и коэффициенты уравнения. Статистический анализ уравнения имеет своей целью показать, что полученные оценки коэффициентов уравнения по модулю либо больше(тогда они значимо отличаются от нуля), либо меньше ошибки(тогда они незначимо отличаются от нуля должны быть исключены из уравнения). При получении незначимого линейного коэффициента какого-либо фактора возможны следующие объяснения:

1) данный фактор не влияет на исследуемый процесс;

2) выбран слишком малый интервал варьирования;

3) значение данного фактора в центральной точке эксперимента соответствует его оптимальной величине, в связи с чем одинаковое его уменьшение или увеличение на λ _i понизит выход процесса приблизительно на одну и ту же величину.

Проводим определение построчной оценки дисперсии воспроизводимости единичного результата измерения в каждом опыте:

(11)

где m_u – число повторностей u-го опыта

Средняя для всего эксперимента оценка дисперсии воспроизводимости едичиного результата рассчитывается по формуле:

(12)

Средняя для всего эксперимента дисперсия воспроизводимости среднего значения выхода в каждой строке будет в m раз меньше дисперсии S²(y_k):

(13)

Для облегчения расчетов целесообразно промежуточные результаты представить в виде таблицы 4. Тогда:

(14) (15)

В определении оценки любого из коэффициентов уравнения участвуют все N средних результатов опытов, оценкой дисперсии которых будет одна и та же величина S²(ў), т.е. оценка дисперсии любого из независимо определяемых коэффициентов будет иметь одну и ту же величину.

В соответствии с теоремой о дисперсии среднего можно записать:

(16)

Доверительная ошибка коэффициентов рассчитывается по критерию Стьюдента:

(17)

Критерий Стьюдента t(Р; f) находится в приложении 4, Р – заданная вероятность(0, 95), f – число степеней свободы f = (m-1)(u-1), где m – число повторностей, u – число опытов.

Если │ В_i│ ›ε │ В_i│, то оценка коэффициентов b_i значимо отличается от нуля. В противном случае оценка b_i считается значимо не отличающейся от нуля, и ее приравнивают нулю.

Если в уравнении после проверки значимости коэффициентов останутся все N коэффициентов, то уравнение считается адекватным.

Если число значимых коэффициентов меньше числа опытов, то проводится проверка адекватности уравнения по экспериментальным данным. Эта проверка осуществляется по критерию Фишера

ŷ _u = В₀ + В₁ + В₂ + В₁₂ (18)

3. Рассчитываем дисперсию неадекватности, которая характеризует точность описания экспериментальных данных полученного уравнения:

(19)

где N^΄ - число значимых коэффициентов уравнения регрессии.

(20)

ПРИЛОЖЕНИЯ